Divergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:40 Sa 19.11.2011 | | Autor: | piet86 |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Reihen auf Konvergenz und Divergenz:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k+1} [/mm] |
Notwendige Kriterium sagt mir hier nur, dass die Reihe konvergent sein kann aber nicht muss.
Das Quotienten- und Wurzelkriterium führt zu keiner Aussage.
[mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] > [mm] \bruch{1}{k^2} [/mm] wobei mir eine konvergierende Minorante nichts bringt.
[mm] \bruch{1}{k+1} [/mm] < [mm] \bruch{1}{k} [/mm] analog bringt eine divergierende Majorante auch nichts.
Das sind alle Kriterien, die wir für Reihen bisher behandelt haben.
Allerdings ist mir das Integralkriterium bekannt:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k+1} [/mm] ist konvergent wenn
[mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} \bruch{1}{x+1} [/mm] existiert.
Da aber [mm] \integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} \bruch{1}{x+1} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} [ln(x+1]\vektor{t \\ 0}
[/mm]
= [mm] \limes_{t\rightarrow\infty} [/mm] ln(t)-ln(2) = [mm] \infty
[/mm]
existiert das Integral nicht. Somit ist die Reihe divergent.
Habe ich das Reihen-Integralkriterium richtig angewendet? Und kann die Aufgabe wirklich nur mit diesem Kriterium gelöst werden
Beste Grüße Piet
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Untersuchen sie folgende Reihen auf Konvergenz und
> Divergenz:
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k+1}[/mm]
> Notwendige Kriterium
> sagt mir hier nur, dass die Reihe konvergent sein kann aber
> nicht muss.
> Das Quotienten- und Wurzelkriterium führt zu keiner
> Aussage.
>
> [mm]\bruch{1}{k+1}[/mm] > [mm]\bruch{1}{k^2}[/mm] wobei mir eine
> konvergierende Minorante nichts bringt.
>
> [mm]\bruch{1}{k+1}[/mm] < [mm]\bruch{1}{k}[/mm] analog bringt eine
> divergierende Majorante auch nichts.
>
> Das sind alle Kriterien, die wir für Reihen bisher
> behandelt haben.
>
> Allerdings ist mir das Integralkriterium bekannt:
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k+1}[/mm] ist konvergent
> wenn
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} \bruch{1}{x+1}[/mm] existiert.
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> Da aber [mm]\integral_{0}^{\infty}{f(x) dx} \bruch{1}{x+1}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty} [ln(x+1]\vektor{t \\ 0}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{t\rightarrow\infty}[/mm] ln(t)-ln(2) = [mm]\infty[/mm]
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> existiert das Integral nicht. Somit ist die Reihe
> divergent.
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> Habe ich das Reihen-Integralkriterium richtig angewendet?
Vom Prinzip ja, bis auf ein paar Kleinigkeiten. Das f(x) hat im Integral nichts zu suchen, da die Funktion mit [mm] \frac{1}{x+1} [/mm] ja schon explizit dasteht. Und dann warst du etwas schlampig beim Einsetzen der Intergrationsgrenzen, was auf den Grenzwert aber keinen Einfluss hat.
> Und kann die Aufgabe wirklich nur mit diesem Kriterium
> gelöst werden
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k+1} [/mm] ist dasselbe wie [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}...
[/mm]
Wenn du's etwas komplizierter willst, geht es auch mit dem Minorantenkriterium:
Für [mm] k\ge [/mm] 1 ist [mm] $\frac{1}{k+1}\ge\frac{1}{2}*\frac{1}{k}$
[/mm]
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> Beste Grüße Piet
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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