Divergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Es seien [mm] $\left(a_n\right)$, $\left(b_n\right)$ [/mm] Folgen reeller Zahlen. Beweisen Sie oder widerlegen Sie (durch ein Gegenbeispiel) die folgenden Aussagen:
a)Wenn [mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] und [mm] $\left(b_n\right)$ [/mm] divergent sind, dann ist auch [mm] $\left(a_n+b_n\right)$ [/mm] divergent.
[mm] $\vdots$
[/mm]
Es gibt noch drei weitere Teilaufgaben nach einem ähnlichen Schema, aber ich denke die sind für den Teil a) nicht relevant. |
Hallo,
ich habe folgendes Problem: Ich habe keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe (und die anderen) angehen soll. Ich wäre deswegen extrem dankbar für einen Tipp, der mich in die richtige Richtung bringt, oder einen Lösungsansatz, den ich dann selbst zu Ende führen kann. Ich hoffe, dass ich dann, wenn ich schon mal eine Aufgabe geschafft habe, dann wohl auch den Rest hinbekommen werde.
Ach ja, ich nehme übrigens an, dass die Aussage stimmt. Ich hoffe mal ich liege nicht da schon daneben.
Bis jetzt habe ich nur gedacht, ich könnte es mit einem Widerspruchsbeweis versuchen, also annehmen, dass [mm] $\left(a_n+b_n\right)$ [/mm] konvergent ist und dann zu zeigen, dass dafür [mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] und [mm] $\left(b_n\right)$ [/mm] ebenfalls konvergent sein müssten. Also:
Annahme: Es sei [mm] $\left(a_n+b_n\right)$ [/mm] konvergent. Dann existiert [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ mit
[mm] $\left|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)\right|<\varepsilon$.
[/mm]
[mm] $\left|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)\right|=\left|\left(a_n-a\right)+\left(b_n-b\right)\right|\le\left|a_n-a\right|+\left|b_n-b\right| \quad \ldots$
[/mm]
Aber weiter komme ich dann auch schon nicht mehr. :/ Aber wahrscheinlich ist auch schon der Ansatz falsch. Das sieht nämlich so aus, wie der Beweis (aus meiner Vorlesung) zu
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \left(a_n\right)=a\wedge\limes_{n\rightarrow\infty} \left(b_n\right)=b\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \left(a_n+b_n\right) [/mm] = a+b$
nur andersrum, und dass kann ja eigentlich nicht funktionieren, da [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] statt [mm] "$\Leftrightarrow$", [/mm] oder?
|
|
| |
|
Hallo Lustique,
> Es seien [mm]\left(a_n\right)[/mm], [mm]\left(b_n\right)[/mm] Folgen reeller
> Zahlen. Beweisen Sie oder widerlegen Sie (durch ein
> Gegenbeispiel) die folgenden Aussagen:
>
> a)Wenn [mm]\left(a_n\right)[/mm] und [mm]\left(b_n\right)[/mm] divergent
> sind, dann ist auch [mm]\left(a_n+b_n\right)[/mm] divergent.
>
> [mm]\vdots[/mm]
>
> Es gibt noch drei weitere Teilaufgaben nach einem
> ähnlichen Schema, aber ich denke die sind für den Teil a)
> nicht relevant.
> Hallo,
> ich habe folgendes Problem: Ich habe keine Ahnung, wie ich
> diese Aufgabe (und die anderen) angehen soll. Ich wäre
> deswegen extrem dankbar für einen Tipp, der mich in die
> richtige Richtung bringt, oder einen Lösungsansatz, den
> ich dann selbst zu Ende führen kann. Ich hoffe, dass ich
> dann, wenn ich schon mal eine Aufgabe geschafft habe, dann
> wohl auch den Rest hinbekommen werde.
> Ach ja, ich nehme übrigens an, dass die Aussage stimmt.
> Ich hoffe mal ich liege nicht da schon daneben.
Ich fürchte, du liegst daneben, wie das sehr einfache Gegenbsp. [mm](a_n)_{n\in\IN}=(n)_{n\in\IN}[/mm] und [mm](b_n)_{n\in\IN}=(-n)_{n\in\IN}[/mm] zeigt.
Beide sind divergent, aber was ist [mm](a_n+b_n)_{n\in\IN}[/mm] ?
>
> Bis jetzt habe ich nur gedacht, ich könnte es mit einem
> Widerspruchsbeweis versuchen, also annehmen, dass
> [mm]\left(a_n+b_n\right)[/mm] konvergent ist und dann zu zeigen,
> dass dafür [mm]\left(a_n\right)[/mm] und [mm]\left(b_n\right)[/mm]
> ebenfalls konvergent sein müssten. Also:
>
> Annahme: Es sei [mm]\left(a_n+b_n\right)[/mm] konvergent. Dann
> existiert [mm]\varepsilon >0[/mm] mit
> [mm]\left|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)\right|<\varepsilon[/mm].
>
> [mm]\left|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)\right|=\left|\left(a_n-a\right)+\left(b_n-b\right)\right|\le\left|a_n-a\right|+\left|b_n-b\right| \quad \ldots[/mm]
>
>
> Aber weiter komme ich dann auch schon nicht mehr. :/ Aber
> wahrscheinlich ist auch schon der Ansatz falsch. Das sieht
> nämlich so aus, wie der Beweis (aus meiner Vorlesung) zu
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \left(a_n\right)=a\wedge\limes_{n\rightarrow\infty} \left(b_n\right)=b\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \left(a_n+b_n\right) = a+b[/mm]
>
> nur andersrum, und dass kann ja eigentlich nicht
> funktionieren, da "[mm]\Rightarrow[/mm]" statt "[mm]\Leftrightarrow[/mm]",
> oder?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Lustique |
Ja, natürlich ist [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n+b_n)_{n\in\mathbb{N}}=\limes_{n\rightarrow\infty}n-n=0$ [/mm] und damit [mm] (a_n+b_n)_{n\in\mathbb{N}} [/mm] konvergent und eine Nullfolge. Das war ja dann schon mal ein Griff ins Klo. Danke dir für deinen Hinweis! :D Ich hoffe inständig das jetzt nur übersehen zu haben, weil ich vorher 4 Stunden an einer anderen Aufgabe hing und damit immer noch nicht weiter bin, weil ich da anscheinend für eine Abschätzung zu blöd bin...
Dann werde ich wohl gleich wegen einer der anderen Teilaufgaben hier noch mal antanzen müssen, befürchte ich fast. Aber anscheinend lohnt es sich ja, vorher (gründlich) nach Gegenbeispielen zu suchen...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe 1 | | b) Wenn [mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] divergent und [mm] $\left(b_n\right)$ [/mm] konvergent ist, dann ist [mm] $\left(a_n+b_n\right)$ [/mm] divergent. |
| Aufgabe 2 | | c) Wenn [mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] divergent und [mm] $\left(b_n\right)$ [/mm] konvergent ist, dann ist [mm] $\left(a_n\cdot b_n\right)$ [/mm] divergent. |
| Aufgabe 3 | | d) Wenn [mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] konvergent ist, dann ist auch [mm] $\left|\left(a_n\right)\right|$ [/mm] konvergent. |
Hallo noch mal,
ich habe mir gedacht, ich poste doch noch mal die restlichen Teilaufgaben, da ich zu denen doch noch ein paar Fragen hätte.
b)
Habe ich als wahr angenommen und folgendermaßen versucht zu beweisen:
[mm] $\left(b_n\right)$ [/mm] konvergent: [mm] $\forall\varepsilon>0\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\geq n_0:\left| b_n-b\right|<\frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
[mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] divergent: [mm] $\forall\varepsilon>0\not\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\geq n_0:\left| a_n-a\right|<\frac{\varepsilon}{2}$
[/mm]
Annahme: [mm] $\left(a_n+b_n\right)$ [/mm] ist konvergent.
[mm] $\left|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)\right|=\left|\left(a_n-a\right)+\left(b_n-b\right)\right|\leq\left|a_n+a\right|+\left|b_n-b\right|\leq\underbrace{\left|a_n+a\right|}_{>\frac{\varepsilon}{2}}+\frac{\varepsilon}{2}\not<\varepsilon$, [/mm]
da [mm] $\not\exists n_0\in\mathbb{N}:\left|a_n+a\right|<\frac{\varepsilon}{2}\forall n\geq n_0$
[/mm]
Geht das so? Falls nicht, könntest du/könntet ihr mir sagen, warum nicht und am besten, was ich mir noch mal angucken sollte, um das richtig hinzubekommen? :D
c)
Habe ich durch ein Gegenbeispiel widerlegt. Oder ist das doch richtig?
d)
Da hatte ich folgende Idee:
[mm] $\left(a_n\right)$ [/mm] konvergent: [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\right)=a$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \left|\left(a_n\right)-a\right|<\varepsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \varepsilon >\left|\left(a_n\right)-a\right|\geq \left|\left|\left(a_n\right)\right|-\left|a\right|\right|$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\left(a_n\right)\right|=\left|a\right|$ [/mm] und damit ist [mm] \left|\left(a_n\right)\right| [/mm] konvergent.
Wahrscheinlich nicht, oder? Ist irgendwie viel zu einfach. Ich hab ja irgendwie nur die [mm] $\triangle$-Ungleichung [/mm] benutzt.
|
|
|
| |
|
> b) Wenn [mm]\left(a_n\right)[/mm] divergent und [mm]\left(b_n\right)[/mm]
> konvergent ist, dann ist [mm]\left(a_n+b_n\right)[/mm] divergent.
> c) Wenn [mm]\left(a_n\right)[/mm] divergent und [mm]\left(b_n\right)[/mm]
> konvergent ist, dann ist [mm]\left(a_n\cdot b_n\right)[/mm]
> divergent.
> d) Wenn [mm]\left(a_n\right)[/mm] konvergent ist, dann ist auch
> [mm]\left|\left(a_n\right)\right|[/mm] konvergent.
> Hallo noch mal,
> ich habe mir gedacht, ich poste doch noch mal die
> restlichen Teilaufgaben, da ich zu denen doch noch ein paar
> Fragen hätte.
>
> b)
> Habe ich als wahr angenommen und folgendermaßen versucht
> zu beweisen:
>
> [mm]\left(b_n\right)[/mm] konvergent: [mm]\forall\varepsilon>0\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\geq n_0:\left| b_n-b\right|<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
>
> [mm]\left(a_n\right)[/mm] divergent: [mm]\forall\varepsilon>0\not\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\geq n_0:\left| a_n-a\right|<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
>
> Annahme: [mm]\left(a_n+b_n\right)[/mm] ist konvergent.
>
> [mm]\left|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)\right|=\left|\left(a_n-a\right)+\left(b_n-b\right)\right|\leq\left|a_n+a\right|+\left|b_n-b\right|\leq\underbrace{\left|a_n+a\right|}_{>\frac{\varepsilon}{2}}+\frac{\varepsilon}{2}\not<\varepsilon[/mm],
> da [mm]\not\exists n_0\in\mathbb{N}:\left|a_n+a\right|<\frac{\varepsilon}{2}\forall n\geq n_0[/mm]
>
> Geht das so? Falls nicht, könntest du/könntet ihr mir
> sagen, warum nicht und am besten, was ich mir noch mal
> angucken sollte, um das richtig hinzubekommen? :D
>
Man kann auch einfacher argumentieren:
Angenommen, [mm] (a_n+b_n) [/mm] ist konvergent. Da die Differenz zweier konvergenter Folgen wieder konvergent ist, ist dann auch [mm] (a_n+b_n-b_n)=(a_n) [/mm] konvergent...
> c)
> Habe ich durch ein Gegenbeispiel widerlegt. Oder ist das
> doch richtig?
korrekt, am einfachsten mit [mm] b_n\equiv [/mm] 0
>
> d)
> Da hatte ich folgende Idee:
>
> [mm]\left(a_n\right)[/mm] konvergent:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\right)=a[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \left|\left(a_n\right)-a\right|<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \varepsilon >\left|\left(a_n\right)-a\right|\geq \left|\left|\left(a_n\right)\right|-\left|a\right|\right|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\left(a_n\right)\right|=\left|a\right|[/mm]
> und damit ist [mm]\left|\left(a_n\right)\right|[/mm] konvergent.
>
> Wahrscheinlich nicht, oder? Ist irgendwie viel zu einfach.
> Ich hab ja irgendwie nur die [mm]\triangle[/mm]-Ungleichung benutzt.
Ist schon richtig so. Wenn man weiß wie's geht, sind die meisten Aufgaben nicht so schwer.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:51 Sa 29.10.2011 | | Autor: | Lustique |
> Man kann auch einfacher argumentieren:
> Angenommen, [mm](a_n+b_n)[/mm] ist konvergent. Da die Differenz
> zweier konvergenter Folgen wieder konvergent ist, ist dann
> auch [mm](a_n+b_n-b_n)=(a_n)[/mm] konvergent...
Mal wieder etwas, an das ich nicht gedacht habe... Mal gucken welchen Beweis ich nehme, den schönen oder meinen. :D
> korrekt, am einfachsten mit [mm]b_n\equiv[/mm] 0
Dann habe ich wieder viel zu kompliziert gedacht. Bei mir wars [mm] $\left(a_n\right):=n$ [/mm] und [mm] $\left(b_n\right):=\frac{1}{n}$. [/mm]
> Ist schon richtig so. Wenn man weiß wie's geht, sind die
> meisten Aufgaben nicht so schwer.
Also dass ich das damit wirklich gezeigt habe, hätte ich jetzt nicht geglaubt, ganz ehrlich. Vor allem, dass anscheinend einfach [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left|\left(a_n\right)\right|=\left|a\right|$ [/mm] gilt.
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:54 So 30.10.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lustique,
leider muss ich ein wenig den Spielverderber miemen:
> b)
>
> [mm]\left(a_n\right)[/mm] divergent: [mm]\forall\varepsilon>0\not\exists n_0\in\mathbb{N}\forall n\geq n_0:\left| a_n-a\right|<\frac{\varepsilon}{2}[/mm]
Nein, die korrekte Verneinung von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergent lautet:
[mm] $\forall a\in\IR\exists\varepsilon>0\forall n_0\in\IN\exists n\geq n_0: |a_n-a|\geq\varepsilon$.
[/mm]
> [mm]\left|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)\right|=\left|\left(a_n-a\right)+\left(b_n-b\right)\right|\leq\left|a_n{\red+}a\right|+\left|b_n-b\right|\leq\underbrace{\left|a_n{\red+}a\right|}_{>\frac{\varepsilon}{2}}+\frac{\varepsilon}{2}\not<\varepsilon[/mm],
Dazu zwei Anmerkungen:
1. Was sind $a$ [mm] ($(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] ist ja divergent, also kann $a$ hier nicht der Limes von [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] sein), $b$ und $n$? Gilt das beispielsweise für mindestens ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] oder für alle [mm] $n\in\IN$? [/mm] Das ist ja ganz entscheidend für den Beweis.
2. Zeigen willst du offensichtlich [mm] $\left|\left(a_n+b_n\right)-\left(a+b\right)\right|\geq\varepsilon$. [/mm] Das folgt aus deiner Ungleichungskette nicht. Aus [mm] $x\leq y\not
(Am besten schreibst du immer [mm] $\geq$ [/mm] statt [mm] $\not<$, [/mm] dann passieren solche Fehlschlüsse nicht so leicht.)
Ich würde dir empfehlen, auf donquijotes Vorschlag zurückzugreifen.
> d)
> Da hatte ich folgende Idee:
>
> [mm]\left(a_n\right)[/mm] konvergent:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\right)=a[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \left|\left(a_n\right)-a\right|<\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \varepsilon >\left|\left(a_n\right)-a\right|\geq \left|\left|\left(a_n\right)\right|-\left|a\right|\right|[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}\left|\left(a_n\right)\right|=\left|a\right|[/mm]
> und damit ist [mm]\left|\left(a_n\right)\right|[/mm] konvergent.
>
> Wahrscheinlich nicht, oder? Ist irgendwie viel zu einfach.
> Ich hab ja irgendwie nur die [mm]\triangle[/mm]-Ungleichung benutzt.
Auch hier solltest du aus meiner Sicht unbedingt dazuschreiben, für welche $n$ und welche [mm] $\varepsilon$ [/mm] das jeweils gilt. Mein Vorschlag:
Da [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergent ist, existiert ein [mm] $a\in\IR$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$. [/mm] Wir zeigen [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}|a_n|=|a|$.
[/mm]
Sei also [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Da [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=a$ [/mm] existiert ein [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] mit [mm] $|a_n-a|<\varepsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\geq n_0$. [/mm] Für solche $n$ folgt $ [mm] \varepsilon >\left|\left(a_n\right)-a\right|\geq \left|\left|\left(a_n\right)\right|-\left|a\right|\right| [/mm] $.
Somit haben wir ein [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] gefunden, so dass für alle [mm] $n\geq n_0$ [/mm] gilt: [mm] $||a_n|-|a||<\varepsilon$. [/mm] Damit ist wie gewünscht [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}|a_n|=|a|$ [/mm] gezeigt.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Sa 12.11.2011 | | Autor: | Lustique |
Danke noch mal! Ich hatte die Beweise dahingehend angepasst und es war dann schließlich auch alles richtig.
|
|
|
|
