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[mm] (\wurzel[n]{n!}) [/mm] divergiert, [mm] n\in\IN
[/mm]
Ich versuche es die ganze Zeit über die Unbeschränktheit. Aber so wirklich gelingt es mir nicht.....und die Zeit bis zur Abgabe kommt bedrohlich näher....
Kann mir jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 So 21.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Ich habe mal eine Lösung zusammengeschustert, von der ich aber nicht glaube, dass sie die Musterlösung zu der Aufgabe darstellt. Daher ist dies auch bloß ein Mitteilungsartikel:
Es gilt:
[mm] $3>\left( 1+\frac{1}{n}\right) [/mm] ^n$
(1) [mm] $\gdw 3\cdot n^n> (n+1)^n$
[/mm]
Wir zeigen nun über vollständige Induktion, dass gilt:
[mm] $3^n\cdot n!>n^n$
[/mm]
Induktionsverankerung n=1: [mm] $3\cdot [/mm] 1=3>1$ - Richtig.
Induktionsschritt:
[mm] $3^{n+1}\cdot (n+1)!=3^{n}\cdot n!\cdot 3\cdot (n+1)>3\cdot n^n\cdot [/mm] (n+1)$
Nach (1) gilt:
$... > [mm] (n+1)^n\cdot (n+1)=(n+1)^{n+1}$.
[/mm]
Damit gilt:
[mm] $3^n\cdot n!>n^n$
[/mm]
[mm] $\sqrt[n]{n!}>\frac{n}{3}$
[/mm]
Da die Folge [mm] $a_n=\frac{n}{3}$ [/mm] divergiert, divergiert also auch [mm] $\sqrt[n]{n!}$, [/mm] was zu zeigen war.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 So 21.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo misterbecks!
> [mm](\wurzel[n]{n!})[/mm] divergiert, [mm]n\in\IN
[/mm]
>
> Ich versuche es die ganze Zeit über die Unbeschränktheit.
> Aber so wirklich gelingt es mir nicht.....und die Zeit bis
> zur Abgabe kommt bedrohlich näher....
Unbeschränktheit ist doch sehr gut, ich formuliere es mal ziemlich locker (dir ist dann überlassen, es zu präzisieren  )
Sei [mm] S\in\IR [/mm] beliebig vorgegeben.
Ich wähle [mm] $m\in\IN$ [/mm] mit [mm] $2*m\ge S^2$ [/mm] und behaupte, dass
[mm] $\wurzel[2m]{(2m)!}\ge [/mm] S$ (*)
[mm] $\Leftarrow$ $(2m)!\ge S^{2m}$
[/mm]
[mm] $\Leftarrow$ $\underbrace{1*\ldots*m*(m+1)*\ldots*(2m)}_{2m \mbox{\scriptsize Faktoren}}\ge S^{2m}$
[/mm]
Jetzt sortiere ich die zweite Hälfte etwas um, spiegele sie gewissermaßen am m:
[mm] $\Leftarrow$ $\overbrace{\underbrace{1*(2m)}_{\ge 2m\ge S^2}*\underbrace{2*(2m-1)}_{\ge 2m\ge S^2}*\underbrace{3*(2m-2)}_{\ge 2m\ge S^2}*\ldots*\underbrace{m*(m+1)}_{\ge 2m\ge S^2}}^{2m \mbox{\scriptsize Faktoren}}\ge S^{2m}$
[/mm]
Diese Ungleichung gilt also, und damit auch (*)
Für alle [mm] $n\ge [/mm] 2m$ gilt natürlich erst recht [mm] $n\ge 2m\ge S^2\ge [/mm] S$, also [mm] $n\ge [/mm] S$.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo marc,
wäre es nicht auch, weil doch $ [mm] \integral_{1}^{n} {\ln x \text{ dx} < \summe_{x=1}^{n} \ln x}$, [/mm] zulässig und einfacher
[mm] $\ln \sqrt[n]{n!}$ [/mm] zu bestimmen und die ln Summe durch's minorante Integral zu ersetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Mo 22.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Friedrich,
> wäre es nicht auch, weil doch [mm]\integral_{1}^{n} {\ln x \text{ dx} < \summe_{x=1}^{n} \ln x}[/mm],
> zulässig und einfacher
>
> [mm]\ln \sqrt[n]{n!}[/mm] zu bestimmen und die ln Summe durch's
> minorante Integral zu ersetzen?
ich habe es gerade nachvollzogen und es funktioniert! 
Damit ist das eine geschickte Lösung, nur verwendet sie ja "noch höhere Mathematik" als Folgen (nämlich Integration, die ja auf dem Folgenbegriff aufbaut und vielleicht noch gar nicht in der Vorlesung des Fragestellers behandelt wurde). Ausserdem müßte man ja auch noch zeigen, dass deine Beziehung zwischen Integral und Summe so stimmt (dürfte aber aus der strengen Monotonie des [mm] $\ln$ [/mm] sofort folgen).
Viele Grüße,
Marc
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