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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:41 Mi 25.04.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Sei $f: U [mm] \rightarrow \mathbb{C}$ [/mm] mit [mm] $z\in U\subseteq \mathbb{C} [/mm] .$ Man bestimme alle Singularitäten von:
a) [mm] \frac{z^6 - 1}{z^4-1 } [/mm]
b) [mm] \frac{z}{e^z - 1} [/mm]
c) [mm] \frac{e^z-1}{z-1} [/mm]
d) [mm] $z^2 sin\(\frac [/mm] {1 } [mm] {z}\) [/mm] $
e) [mm] e^{1/z } [/mm]
f) [mm] \tan(z) [/mm] = [mm] \frac{\sin(z)}{ cos(z) } [/mm]
g) [mm] \frac{sin(z) - z } {z^3} [/mm] |
So, die Vorgangsweise müsste hier doch so lauten, dass ich jeweils die Nennernullstellen bestimme und diese dann aus dem Quellraum ausschließe.
Bsp.
Zu a):
[mm] $z^4 [/mm] - 1 = (z-1) [mm] (z+1)(z^2+1) [/mm] = (z-1) (z+1)(z+i)(z-i) $
Daraus folgt, dass die hebbaren Singularitäten
$z = [mm] \pm \frac{\sqrt{2} }{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2} [/mm] i$ (einfache alle Variationen der Vorzeichen - insgesamt vier komplexe Nullstellen)
Wenn jetzt noch die Holomorphie (nach Ausschluss dieser vier Punkte aus dem Originalraum) nachgewiesen wird, dann müsste es für die hebbaren Singularitäten doch reichen. Stimmt das?
Ich sehe hier aber keine anderen Singularitäten.
Bei den weiteren Beispiele kann ich doch völlig analog vorgehen? Ich sehe hier jedenfalls in keinem weiteren Beispiel von hebbaren Singularitäten verschiedene Singularitäten. Habe ich damit recht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Mi 25.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f: U \rightarrow \mathbb{C}[/mm] mit [mm]z\in U\subseteq \mathbb{C} .[/mm]
> Man bestimme alle Singularitäten von:
> a) [mm]\frac{z^6 - 1}{z^4-1 }[/mm]
>
> b) [mm]\frac{z}{e^z - 1}[/mm]
>
> c) [mm]\frac{e^z-1}{z-1}[/mm]
> d) [mm]z^2 sin\(\frac {1 } {z}\)[/mm]
>
> e) [mm]e^{1/z }[/mm]
>
> f) [mm]\tan(z)[/mm] = [mm]\frac{\sin(z)}{ cos(z) }[/mm]
>
> g) [mm]\frac{sin(z) - z } {z^3}[/mm]
> So, die Vorgangsweise müsste
> hier doch so lauten, dass ich jeweils die Nennernullstellen
> bestimme und diese dann aus dem Quellraum ausschließe.
Na ja, und was ist mit den Nullstellen des Zählers ?
>
> Bsp.
> Zu a):
> [mm]z^4 - 1 = (z-1) (z+1)(z^2+1) = (z-1) (z+1)(z+i)(z-i)[/mm]
> Daraus folgt, dass die hebbaren Singularitäten
> [mm]z = \pm \frac{\sqrt{2} }{2} \pm \frac{\sqrt{2}}{2} i[/mm]
Wie kommst Du auf diese Zahlen ??
Der Zähler hat ebenfalls die Nullstellen 1 und -1 .
> (einfache alle Variationen der Vorzeichen - insgesamt vier
> komplexe Nullstellen)
> Wenn jetzt noch die Holomorphie (nach Ausschluss dieser
> vier Punkte aus dem Originalraum) nachgewiesen wird, dann
> müsste es für die hebbaren Singularitäten doch reichen.
1 und -1 sind hbbare Sing., i und -i aber nicht.
> Stimmt das?
>
> Ich sehe hier aber keine anderen Singularitäten.
> Bei den weiteren Beispiele kann ich doch völlig analog
> vorgehen? Ich sehe hier jedenfalls in keinem weiteren
> Beispiel von hebbaren Singularitäten verschiedene
> Singularitäten. Habe ich damit recht?
Nein.
Die Funktion in b) hat in den Punkten $2k [mm] \pi [/mm] i$ (k [mm] \in \IZ) [/mm] isol. Sing.
Nur für k=0 liegt eine hebbare Sing. vor. Die anderen sind pole.
Bei d) und e) ist 0 jeweils eine wesentliche Sing.
Etc....
FRED
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