Division in Z7? < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Sa 26.01.2008 | | Autor: | sebid |
| Aufgabe | Lösen sie das Gleichungssystem
x+2y = 4 (1)
4x+3y = 4 (2)
in [mm] \IZ_{7}. [/mm] |
Jetzt hab ich hier die Musterlösung:
(1) x = 4 - 2y = 4 + 5y
Eingesetzt in (2):
4(4 + 5y) + 3y = 16 + 20y + 3y = 2 + 2y = 4
Soweit versteh ich das ja, aber dann kommt folgendes:
Gleichung nach y auflösen:
2y = 2 [mm] \gdw [/mm] y = 4 * 2 = 8 = 1
Woher kommt da die 4?
Im Restklassenring ist doch die Division gar nicht definiert, oder?
Dass 8 = 1 ist in [mm] \IZ_{7}, [/mm] ist mir klar, aber wieso die 4?
Danke.
Viele Grüße,
Sebastian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Sa 26.01.2008 | | Autor: | wauwau |
Du dividierst nicht, sondern multiplizierts beide Seiten (in diesem Fall mit 4) sodass die Restklasse des Variablenkoeffizients 1 ist!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mi 30.01.2008 | | Autor: | sebid |
Dankeschön. Ich hab's verstanden.
Und ich hoffe, dass es für die Klausur gereicht hat.
Leider kam da gar nicht viel mit dran.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Sa 26.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi Sebastian,
beachte, dass [mm] $\IZ_7$ [/mm] isomorph zu [mm] $\IF_7$ [/mm] ist, d.h. wir betrachten hier ein LGS über einem Körper. Eine Division ist in einem Körper gerade die Multiplikation mit dem Inversen, deshalb kann man auch nicht (in der Algebra) durch 0 dividieren, da dieses Element nicht in der Einheitengruppe liegt.
Deine Musterlösung ist (vorausgesetzt es steht dort wirklich so) falsch.
> 2y = 2 [mm]\gdw[/mm] y = 4 * 2 = 8 = 1
Es müsste 4 · 2 = 8 = 1 mod 7 oder 8 ≡ 1 [mod 7] heißen. Weißt Du denn, wann ein modulares Inverses in allg. Restklassenringen existiert und warum?
LG
Alex
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