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Forum "Uni-Analysis" - Doppel-Integral-Berechnung
Doppel-Integral-Berechnung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Doppel-Integral-Berechnung: Idee?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:45 Fr 28.01.2005
Autor: michl23

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

[mm] \integral_{0}^{1}{} \integral_{0}^{1} {e^{max(x^{2}, y^{2})} dxdy} [/mm]
berechne das Integral

das war ne prüfungsaufgabe, leider konnte ich diese aufgeabe nicht lösen mich würde aber trotzdem der lösungsweg/lösung/vorgehensweis interessieren

danke für euer interesse

        
Bezug
Doppel-Integral-Berechnung: Unterteilung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:50 Fr 28.01.2005
Autor: Clemens

Hallo!

> [mm]\integral_{0}^{1}{} \integral_{0}^{1} {e^{max(x^{2}, y^{2})} dxdy} [/mm]
>  
> berechne das Integral
>  
> das war ne prüfungsaufgabe, leider konnte ich diese
> aufgeabe nicht lösen mich würde aber trotzdem der
> lösungsweg/lösung/vorgehensweis interessieren

Ich würde das Gebiet [mm] [0;1]^{2} [/mm] aufteilen und schreiben:

  [mm]2* \integral_{0}^{1}{\integral_{y}^{1}{e^{x^{2}}}dxdy} [/mm]

Ich kenne mich mit Analysis nicht aus und konsultiere Mathematika 4.1. Das liefert mir dann:

  [mm] = 2* \integral_{0}^{1}{\bruch{\wurzel{\pi}}{2}(Erfi(1) - Erfi(y))dy} = e - 1 [/mm]

Gruß Clemens



Bezug
                
Bezug
Doppel-Integral-Berechnung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:06 Fr 28.01.2005
Autor: Atreju


> Ich würde das Gebiet [mm][0;1]^{2}[/mm] aufteilen und schreiben:
>  
> [mm]2* \integral_{0}^{1}{\integral_{y}^{1}{e^{x^{2}}}dxdy}[/mm]

  
Interessant waere, wie du zu dieser Aufspaltung gekommen bist. Find ich leider nicht nachvollziehbar.

> Ich kenne mich mit Analysis nicht aus und konsultiere
> Mathematika 4.1. Das liefert mir dann:

Naechstes Problem - In einer Pruefung hat man leider kein Mathematika, und [mm]e^{x^2}[/mm] zu integrieren ist kein Kinderspiel. [ Edit: Wie viel man nach einem halben Jahr uebersehen kann: Das Integral ist durch vertauschen der Integrationsreihenfolge auch furchtbar einfach zu errechnen ]

Ich hab hier, nach gruendlichem Rechnen, eine Loesung, die auf das gleiche Ergebnis kommt:
[mm] \integral_{0}^{1}{} \integral_{0}^{1} {e^{max(x^{2}, y^{2})} dxdy} [/mm]

laesst sich auch schreiben als:
[mm] \integral_{0}^{1} { ( \integral_{0}^{y}{e^{y^{2}} dx} + \integral_{y}^{1}{e^{x^{2}} dx} )dy} [/mm]

Denke, dieser Schritt ist nachvollziehbar, und laesst sich weiter auch ohne Mathematika berechnen. ( Zwei Doppelintegrale, eines ist relativ einfach, beim anderen komm ich durchs vertauschen der Integrationsreihenfolge auf Ergebnis. )

Insgesamt bekomme ich auch e - 1 als Ergebnis.

Nur waer es wirklich nochmal interessant zu wissen, wie du auf deine Unterteilung kommst.

Daniel

Bezug
        
Bezug
Doppel-Integral-Berechnung: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 13:11 Fr 28.01.2005
Autor: Atreju

Mein Ansatz: Integral  umschreiben in:
[mm] \integral_{0}^{1} {\integral_{0}^{z} { \integral_{z}^{1-z} {e^z^2} dx}dy dz} [/mm]

Das ist wohl der entscheidende Schritt - Und ich bin mich nicht wirklich sicher ob er stimmt, ich hab das mal rein intuitiv angenommen ( Woemoeglich der mathematische 7. Sinn oder sowas. :), ich suche immernoch nach einer Erklaerung ( Nicht vergessen, dass war eine Pruefungsaufgabe, also einfach mal auf die naechste Idee stuerzen die irgendwie Plausibel erscheint :)

Das sieht nun erstmal nach einem wuessten Dreifachintegral aus, laesst sich aber relativ problemlos in ein Einfachintegral aufloesen:

[mm] \integral_{0}^{1} {(e^z^2)(1 - 2z)z dz} [/mm]

Umformen in:
[mm] \integral_{0}^{1} {ze^z^2 - z2ze^z^2 dz} [/mm]

"Auseinanderziehen":

[mm] \integral_{0}^{1} [/mm] { [mm] ze^z^2 [/mm] dz } - [mm] \integral_{0}^{1} {z2ze^z^2 dz} [/mm]

letzteres laesst sich partiell integrieren:
[mm]\integral_{0}^{1} {z2ze^z^2 dz} = ze^z^2 - \integral_{0}^{1} {2ze^z^2 dz }[/mm]

wobei ja gilt:
[mm]\integral_{0}^{1} {2ze^z^2 dz } = e^z^2 [/mm]


Als Ergebnis bekomme ich zum Schluss e/2.

Hoffe, dass alles richtig ist.
Daniel


Bezug
        
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Doppel-Integral-Berechnung: geschickt unterteilen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Sa 29.01.2005
Autor: moudi

Hallo michl

Eigentlich muss man die Funktion [mm] $e^{\max(x^2,y^2)}$ [/mm] über den Bereich [mm] $B=[0,1]\times[0,1]$ [/mm] integrieren. B ist ein Quadrat. Dieses Quadrat wird durch die Diagonale y=x in zwei Dreiecke [mm] $B_1$ [/mm] und [mm] $B_2$ [/mm] unterteilt.

Im "unteren Dreieck" [mm] $B_1$ [/mm] gilt [mm] $y\leq [/mm] x$ und daher [mm] $\max(x^2,y^2)=x^2$. [/mm]
Im "oberen Dreieck" [mm] $B_2$ [/mm] gilt [mm] $y\geq [/mm] x$ und daher [mm] $\max(x^2,y^2)=y^2$. [/mm]

Man muss also die Funktion [mm] $e^{x^2}$ [/mm] über den Bereich [mm] $B_1$ [/mm] und die Funktion [mm] $e^{y^2}$ [/mm] über den Bereich [mm] $B_2$ [/mm] integrieren.

Eine Vertauschung der Variablen x und y entspricht einer Spiegelung an der Geraden y=x. Weil die Dreiecke symmetrisch bezüglich dieser Geraden liegen sind die beiden Integrale gleich.

Ich berechne daher nur das erste Integral und erhalte
[mm] $\int_{B_1}e^{x^2} dy\,dx=\int_0^1\int_0^x e^{x^2}\,dy\,dx= \int_0^1 e^{x^2}(\int_0^x dy)\,dx= \int_0^1 e^{x^2}x\,dx=\frac12(e-1)$. [/mm]

Total ergibt sich daher $e-1$.

mfG Moudi



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