Doppelintegral berechnen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:06 Do 28.06.2007 | | Autor: | maxlein |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{2}{}\integral_{-\wurzel{1-y^{2}}}^{\wurzel{4-y^{2}}}{\bruch{1}{x^{2}+y{2}} dx} [/mm] |
Meine Lösung wäre [mm] \bruch{\ln(x^{2}+y^{2})}{2x}
[/mm]
Bin ich da richtig? Wenn ja, weiß ich nicht mehr weiter! Beim einsetzen der Grenzen weiß ich nicht mehr weiter wie ich das rechnen soll! Und vlt kann mir auch jemand beim 2ten Integral helfen...
mfg max
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Do 28.06.2007 | | Autor: | rotschi |
Du hast schon die falsche Lösung für das Integral. Ich denke es müsste
x^(-1)*arctan(x/y)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Do 28.06.2007 | | Autor: | rotschi |
also ich meine nur die erste Integration bevor Du die Grenzen einsetzt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Do 28.06.2007 | | Autor: | Dirk07 |
Hallo Maxlein,
am besten ist es, du machst dir erstmal einen Lageplan, d.h. du schaust, was du da genau integrierst. Mit dem inneren Integral berechnest du die Fläche, welche durch zwei Kreise begrenzt wird. Die allgemeine Kreisformel in kartesischen Koordinaten lautet:
[mm]r=\wurzel{x^2+y^2}[/mm] bzw. [mm]r^2=x^2+y^2[/mm]
Wenn du dir die Integrationsgrenzen des inneren Integrals anschaust, siehst du, dass der obere Kreis einen Radius von [mm][mm] \wurzel{4}[/mm] [mm] haben muss, während der untere Kreis (er ist unterhalb der x-Achse, da er ein Minuszeichen davor hat) einen Radius von [mm]\wurzel{1}[/mm] liefert. Quasi berechnest du mit dem interen Integral die Fläche des größeren Kreises minus die Fläche des unteren, kleineren Kreises (Die Fläche von diesem liegt unterhalb der x-Achse, daher negativ).
Mit dem äußeren Integral berechnest du das Volumen über der Fläche von 0 bis 2 (also nicht über die ganzen Kreise, sondern nur über einen Halbkreis)
Damit die Rechnung nicht so umfangreich wird, empfiehlt es sich hier, auf Polarkoordinaten umzuwechseln, du setzt für [mm]x^2+y^2=r^2[/mm]. Jetzt musst du nur noch bedenken, dass du sich in Polarkoordinaten ein Stück der Teilfläche mit [mm]dA=dr\cdot{}rd\phi[/mm] berechnet, das heißt, im inneren Integral musst du noch ein "r" hineinmultiplizieren. Mehr zu Polarkoordinaten findest du auf der Wikipedia Seite unter "Polarkoordinaten".
Jetzt musst du noch an den Integrationsgrenzen für das innere Integral arbeiten und sie den Polarkoordinaten anpassen. Entweder zerlegst du das Integral in zwei Integrale für den großen Kreis und ziehst davon das Integral des inneren Kreises ab (dann lässt du das Minuszeichen weg, sodass der Kreis nunmehr auch positiven Flächeninhalt hat) oder du schreibst das jetzige Integral um, indem du die Grenzen nach "r" auflöst. Ich wähle erste Methode, da diese doch um einiges einfacher ist. Zuerst betrachtest du den äußeren Kreis:
[mm]x=\wurzel{4-y^2}[/mm]
[mm]x^2=4-y^2[/mm]
[mm]x^2+y^2=4[/mm]
Der Radius ist hierbei 2. (da [mm] r^2=4). [/mm] Also ist deine untere Integrationsgrenze 0, die obere somit 2 (=Radius) für den äußeren Kreis. Jetzt machst du das gleiche für den inneren Kreis:
[mm]x=\wurzel{1-y^2}[/mm]
[mm]x^2=1-y^2[/mm]
[mm]x^2+y^2=1[/mm]
Wie gesagt, das minus zeichen ziehen wir quasi aus dem Integral heraus. Somit hätten wir für den inneren Kreis die Integrationsgrenzen 0 und 1.
Jetzt musst du noch das äußere Integral betrachten. im kartesischen Koordinatensystem sammelst du von 0 bis 2 auf (links nach rechts, ein Halbkreis), in Polarkoordinaten sammelst du Volumeneinheiten von 0° bis [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] auf, also bis 90° - Halbkreis. Insgesamt sähe dann das Integral wie folgt aus:
[mm]\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{(\integral_{0}^{2}{\bruch{1}{r}dr}-\integral_{0}^{1}{\bruch{1}{r}dr})}d\phi}}[/mm]
(das [mm] r^2 [/mm] verschwindet, da hier, wie oben beschrieben nochmal mit r multipliziert werden muss).
Hier das ganze auch nochmal graphisch:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Da ich mir nicht ganz sicher bin, mit meiner Lösung (vorallem ob das legitim ist, das Integral auseinanderzuziehen), lasse ich die Frage auf "unbeantwortet", würde mich freuen, wenn meine Rechnung/Gedankengang nochmal jemand korrekturlesen kann.
Lieben Gruß,
Dirk
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:35 Do 28.06.2007 | | Autor: | maxlein |
Wow, danke für diese ausführliche Antwort!
Da versteh ich das Ganze gleich viel besser 
mfg max
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