Doppelintegral bestimmen < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:27 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Kemena |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie exakt das Doppelintegral [mm] \integral_{}^{}{\integral_{}^{}{(3xy²+2x) dx} dy} [/mm] erstreckt über das Dreieck zwischen dem Graph der Funktion y=2*|x-1|-2 und der x-Achse. |
Moin!
Also diese Aufgabenstellung bereitet mir unendliches Kopfzerbrechen... Die Lösung =8 hab ich zwar zur Kontrolle angegeben, aber der weg dahin ist mir ein schier unmögliches Rätsel... ich hab schon ohne Ende hin und her gerechnet, aber ich finde einfach keinen Weg zur Lösung. Mag daran liegen das ich die Formulierung einfach verwirrend finde.
Ich hoffe hier kann mir jemand helfen!
Danke im Vorraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:43 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Kemena |
Integrationsgrenzen sind keine angegeben, sonst wäre ich wohl auch noch in der Lage dazu gewesen ;) aber das is ja auch irgendwie das merkwürdige, wenn man über die Nullstellen der Dreiecksfunktion integriert kommt da trotzdem was anderes raus. Hatte da z.B. gerechnet: Integration über x in den Grenzen von 0 bis 2 und Integrations über y von -1 bis 0 .
Aber das Ergebnis ist ja nich die Fläche des Dreiecks und da hört mein verständnis langsam auf :D
Auch wenn ich zuerst über x(y) und dann über y in den grenzen integriert habe, hats nix gebracht.
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Hallo!
Nun, du mußt die Gedanken machen, wie die Grenzen von x und y voneinander abhängen.
Das Integrationsgebiet liegt ja zwischen (0,0) (1, -2) und (0,2)
Beachte erstmal nur die linke Hälfte des Dreiecks: Da geht x von 0 bis 1. y geht bis 0, aber es fängt bei einem Wert an, der von x abhängt, also von der Funktion.
Das heißt also, dein Integral sieht so aus:
[mm] $\integral_{x=0}^{x=1}\integral_{y=-2(x-1)-2}^{y=0}...$
[/mm]
Also, integriere die Funktion zuerst über y, setze diese Grenze ein, und dann alles über x integrieren
Das gleiche machst du nochmal für die rechte Seite des Dreiecks, natürlich mit geänderten Grenzen für x und y.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Kemena |
Du hast das nicht zufällig kurz durchgerechnet? komme da auf die ergebnisse -44/15 bei 0<x<1 und 308/5 bei 1<x<2.
Naja, so wie ich die Aufgabenstellung verstehe, solls wohl auch in einem Doppelintegral gelöst werden... Aber ich schau da ja eh kaum noch durch.
Was soll eigentlich berechnet werden? Die Fläche des Dreiecks kann ja gar nicht sein, die is ja nicht 8...
Also manchmal müssen mathematiker es auch mit ihrer Formulierung übertreiben, sonst werden die nicht glücklich glaube ich.
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> Du hast das nicht zufällig kurz durchgerechnet? komme da
> auf die ergebnisse -44/15 bei 0<x<1 und 308/5 bei 1<x<2.
> Naja, so wie ich die Aufgabenstellung verstehe, solls wohl
> auch in einem Doppelintegral gelöst werden... Aber ich
> schau da ja eh kaum noch durch.
>
> Was soll eigentlich berechnet werden? Die Fläche des
> Dreiecks kann ja gar nicht sein,
Nein, aber von dieser Fläche hätte ich folgendes Bildchen beizutragen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> die is ja nicht 8...
Der "Graph" der Funktion [mm] $f:(x,y)\mapsto 3xy^2+2x$ [/mm] ist eine Fläche im 3-dim Raum. Der Wert des Integrals ist (grob gesagt) das Volumen zwischen der Dreiecksfläche in der $xy$-Ebene und dem Graphen von $f$, der darüber liegt.
> Also manchmal müssen mathematiker es auch mit ihrer
> Formulierung übertreiben, sonst werden die nicht glücklich
> glaube ich.
Wenn man das Doppelintegral wie von der Aufgabenstellung suggeriert integriert (also zuerst nach $x$, dann nach $y$), so kann man dies m.E. folgendermassen machen:
[mm]\begin{array}{rcl}
\displaystyle\int_{-2}^0 \int_{-\frac{y}{2}}^{\frac{y}{2}+2}\big(3xy^2+2x\big)\,dx\, dy &=& \displaystyle\int_{-2}^0 \big(3y^3+6y^2+2y+4\big)\, dy\\
&=& 8
\end{array}[/mm]
Die Grenzen des inneren Integrals ergeben sich durch Auflösen der Funktionsgleichung $y=2|x-1|-2$ nach $x$. Das heisst, das innere Integral liefert uns das (infinitesimale) Volumen zwischen dem Graphen von $f$ und einem (in der Skizze rot ausgefüllt eingezeichneten) Streifen der Bereite $dy$. Aufintegrieren dieser infinitesimalen Volumenelemente in der $y$-Richtung ergibt dann das gesuchte Volumen zwischen Dreiecksfläche und dem Graphen von $f$.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: Png) [nicht öffentlich]
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