Doppelintegrale < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Di 23.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden Doppelintegrale und skizzieren Sie die Integrationsbereiche!
[mm] \integral_{x=1}^{2}\integral_{y=0}^{(\pi*x)/2}{cos(y/x) dydx} [/mm] |
Hallo leider komm ich mit den pi einfach nicht klar. Ich weiß nicht wie ich das einzeichnen soll oder gar berechnen soll damit, sonst hatten wir immer nur "normale" Zahlen.
ich hätte jetzt angefangen mit den Grenzen
1≤x≤2
0≤y≤((π*x)/2)
und jetzt weiß ich nicht weiter =(
wär toll wenn jemand helfen könnte, danke
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.onlinemathe.de/forum/Doppelintegrale-12
wär toll wenn jemand helfen könnte, danke
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Zunächst zu den Integrationsgrenzen: Es wird über die gelbe Fläche integriert (Achsenbeschriftung des Koordinatensystems habe ich aus Zeitgründen weggelassen). Man startet bei x=1 und geht bei diesem Wert von y=0 zu [mm] y=\pi [/mm] x/2 =n [mm] \pi/2 [/mm] (linker Rand der Fläche). Man endet bei x=2 und geht bei diesem Wert von y=0 zu [mm] y=\pi [/mm] (rechter Rand der Fläche).
Bei den x-Werten dazwischen geht man von y=0 bis [mm] y=x*\pi/2, [/mm] wobei sich eine senkrechte Linie von der x-Achse bis zur oberen Schräglinie ergibt (sie ist Teil der Geraden mit [mm] y=x*\pi/2).
[/mm]
Nun zum Integral:
Betrachte [mm] \integral_{y=0}^{(\pi*x)/2}{cos(y/x) dy}. [/mm] Dabei wird x als feststehend angesehen. Ddu musst den cos integrieren und dabei noch die Kettenregel beachten, indem du zur Stammfunktion sin noch einen passenden konstanten Faktor (der aber x enthält) hinzufügst.
Dann setzt du die Grenzen ein (0 und [mm] \pi*x)/2) [/mm] und erhältst einen Ausdruck, der nur noch von x, nicht aber von y abhängt. Diesen Ausdruck musst du nochmals integrieren, nun ist aber x nicht mehr konstant. Setze dann für x die Grenzen 1 und 2 ein.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:19 Di 23.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
> Betrachte [mm]\integral_{y=0}^{(\pi*x)/2}{cos(y/x) dy}.[/mm] Dabei
> wird x als feststehend angesehen.
Muss hier nicht y als feststehend angesehen werden? weil es steht doch erst dy und dx in der Aufgabe?!?
Ddu musst den cos
> integrieren und dabei noch die Kettenregel beachten, indem
> du zur Stammfunktion sin noch einen passenden konstanten
> Faktor (der aber x enthält) hinzufügst.
>
hier ist meine Funktion, aber ob die richtig ist...
[mm] \integral_{x=1}^{2}{[1/2sin(y/x^2)] dx}
[/mm]
dann die Grenzen einsetzen
=1/2 [mm] \integral_{x=1}^{2}{(sin((\pi*x)/2)/x^2) - sin(0/x^2)) dx}
[/mm]
ind jetz komm ich schon wieder nicht weiter bei der nächsten Stammfunktion
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Hallo Moni1987,
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> > Betrachte [mm]\integral_{y=0}^{(\pi*x)/2}{cos(y/x) dy}.[/mm] Dabei
> > wird x als feststehend angesehen.
>
> Muss hier nicht y als feststehend angesehen werden? weil es
> steht doch erst dy und dx in der Aufgabe?!?
>
> Ddu musst den cos
> > integrieren und dabei noch die Kettenregel beachten, indem
> > du zur Stammfunktion sin noch einen passenden konstanten
> > Faktor (der aber x enthält) hinzufügst.
> >
>
> hier ist meine Funktion, aber ob die richtig ist...
>
> [mm]\integral_{x=1}^{2}{[1/2sin(y/x^2)] dx}[/mm]
Die Stammfunktion stimmt leider nicht.
Die Stammfunktion muß [mm]c*\sin\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm] lauten.
Nun differenziere das nach y und Dann bekommst Du die Konstante c.
>
> dann die Grenzen einsetzen
>
> =1/2 [mm]\integral_{x=1}^{2}{(sin((\pi*x)/2)/x^2) - sin(0/x^2)) dx}[/mm]
>
> ind jetz komm ich schon wieder nicht weiter bei der
> nächsten Stammfunktion
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Di 23.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
> Die Stammfunktion muß [mm]c*\sin\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm]
> lauten.
>
> Nun differenziere das nach y und Dann bekommst Du die
> Konstante c.
>
>
aber muss ich denn nicht nach dy differenzieren?!? Siehe Aufgabe?!?
ja ich weiß leider nicht wie man das macht mit dem differenzieren... woher weiß ich denn was ich für c einsetzen soll? und bleibt das in der Klammer so? Eigentlich schon oder?
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> > Die Stammfunktion muß [mm]c*\sin\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm]
> > lauten.
> >
> > Nun differenziere das nach y und Dann bekommst Du die
> > Konstante c.
[mm] (c*sin(\frac{y}{x}))' [/mm] (nach y) = [mm] c*\frac{cos(\frac{y}{x})}{x}
[/mm]
und das gleichsetzen mit der ausgangsfunktion [mm] cos(\frac{y}{x}), [/mm] dann weisst du, was du bei der stammfunktion vergessen hast 
> >
> >
>
> aber muss ich denn nicht nach dy differenzieren?!? Siehe
> Aufgabe?!?
>
> ja ich weiß leider nicht wie man das macht mit dem
> differenzieren... woher weiß ich denn was ich für c
> einsetzen soll? und bleibt das in der Klammer so?
> Eigentlich schon oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
> >
> > > Die Stammfunktion muß [mm]c*\sin\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm]
> > > lauten.
> > >
> > > Nun differenziere das nach y und Dann bekommst Du die
> > > Konstante c.
> [mm](c*sin(\frac{y}{x}))'[/mm] (nach y) =
> [mm]c*\frac{cos(\frac{y}{x})}{x}[/mm]
> und das gleichsetzen mit der ausgangsfunktion
> [mm]cos(\frac{y}{x}),[/mm] dann weisst du, was du bei der
> stammfunktion vergessen hast
> > >
> > >
ich weiß nicht wie ich das machen soll, ich versteh das leider überhaupt nicht wirklich =(
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> > >
> > > > Die Stammfunktion muß [mm]c*\sin\left(\bruch{y}{x}\right)[/mm]
> > > > lauten.
> > > >
> > > > Nun differenziere das nach y und Dann bekommst Du die
> > > > Konstante c.
> > [mm](c*sin(\frac{y}{x}))'[/mm] (nach y) =
> > [mm]c*\frac{cos(\frac{y}{x})}{x}[/mm]
> > und das gleichsetzen mit der ausgangsfunktion
> > [mm]cos(\frac{y}{x}),[/mm] dann weisst du, was du bei der
> > stammfunktion vergessen hast
[mm] c*\frac{cos(\frac{y}{x})}{x}=cos(\frac{y}{x}) [/mm] auf beiden seiten durch cos(..) teilen:
[mm] \frac{c}{x}=1 \gdw [/mm] c=x, das oben eingesetzt in den ansatz [mm] c*sin(\frac{y}{x}))..
[/mm]
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> > > >
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> ich weiß nicht wie ich das machen soll, ich versteh das
> leider überhaupt nicht wirklich =(
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... wenn Du die Kettenregel nicht beherrscht, bist Du beim Integrieren völlig aufgeschmissen.
Als Übung mal Folgendes:
f(x)= sin(cos(x))
f'(x)=?
f besteht aus einer äußeren Funktion (sin) und einer inneren Funktion (cos). Ableiten geht dann so:
Zunächst leitest du nur die äußere Funktion ab und schreibst die innere Funktion dann unverändert(!!!) ab, also
f'(x)=cos(cos(x))... (aus sin wurde cos, der cos in der Klammer wurde einfach abgeschrieben). Nun musst Du das Ganze noch mit der inneren Ableitung malnehmen, also mit der Ableitung von cos(x):
f'(x)=cos(cos(x))*(-sin(x)) und fertig.
Nach dem selben Muster noch ein paar Beispiele, schau sie Dir an, wenn Du das Obige verstanden hast, ist es ganz einfach:
[mm] f(x)=\wurzel{sin(x)}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{2*\wurzel{sin(x)}}...*cos(x)
[/mm]
f(x)= [mm] (3x^7-18x^3)^8 [/mm] (äußere Funktion ist [mm] ()^8)
[/mm]
[mm] f'(x)=8(3x^7-18x^3)^7...*(21x^6-54x^2)
[/mm]
---------------------------------------------------------
Jetzt zu dem gesuchten Integral:
[mm] \integral{cos(y/x) dy}
[/mm]
Weil nach y integriert wird (man sagt nicht nach dy, sondern nach y, das d ist ein Symbol), wird nur y als variabel und x wie eine Konstante betrachtet. Also hast Du so was wie cos(y), und das ist die Ableitung der gesuchten Stammfunktion. Nun hast Du an den Beispielen gesehen, dass sich beim Ableiten die innere Funktion nicht ändert. Demnach war die Stammfunktion (zunächst) einfach
sin(y/x).
Nun machst du - gemäß obigen Regeln - die Probe:
(sin(y/x))' (nach y abgeleitet, x als konstant betrachtet)
= cos(y/x)...*1/x , denn du leitest sin ab und schreibtst beim cos y/x unverändert ab, die innere Ableitung von y/x (bezüglich y mit x=const.) ist 1/x, z.B. (y/3)' = 1/3.
Vergleichst du das nun mit dem Integranden, stellst du fest, dass der nur cos(y/x) heißt, nicht cos(y/x)*1/x.
Also korrigierst du die vermutete Stammfunktion so mit einem Faktor, dass sich nun cos(y/x) ergibt. Der Faktor muss demnach einfach x heißen (geht nur, weil x const. ist).
[mm] \integral{cos(y/x) dy}=x*sin(y/x)
[/mm]
Probe durch Ableiten:
(x*sin(y/x))' (nach y mit x=const.)= x*cos(y/x)...*1/x = cos(y/x).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Do 25.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
Hallo,
danke für deine komplexe Erklärung =)
Jetz hab ich das wenigstens mal nen bisschen verstanden, zumindest die einfacheren Fälle.
so ich hab jetz die Grenzen für y eingesetzt und hab rausbekommen:
[mm] \integral ((x*sin((\pi*x/2)/x))) [/mm] - (x*sin(0/x)) dx
so und jetzt davon wieder die Stammfunktion nach x
[mm] (1/2x^2-cos((\pi*x/2)/x)) [/mm] - [mm] (1/2x^2-cos(0/x))
[/mm]
naja ich bekomm ich natürlich das ableiten von den inneren wieder nicht hin... gibt es für so ne schwierigen nich nen Typ?!?
danke Moni
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Du setzt jetzt in die Stammfunktion x*sin(y/x) für y den Wert [mm] x\pi/2 [/mm] und dann den Wert 0 ein und ziehtst beides voneinander ab:
[mm]\integral ... = ((x*sin((\pi*x/2)/x)))[/mm] - (x*sin(0/x)) dx = [mm] x*sin(\pi/2)-x*sin(0) [/mm] = x*0 - x*0 = 0, da [mm] sin(\pi/2)=0 [/mm] (entspricht 180 °) und sin(0)=0.
Als nächstes integrierst du die Nullfunktion und erhältst eine beliebige konstante, aber nach dem Einsetzen der Grenzen ergibt sich endglültig als Wert 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Fr 26.06.2009 | | Autor: | Moni1987 |
hallo,
aber passt das mit der zeichnung denn wenn da 0 rauskommt????
Eine Freundin kam auf 3/2 als Ergebnis ?!?!?!?!?!?
danke Moni
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Hallo Moni1987,
> hallo,
>
> aber passt das mit der zeichnung denn wenn da 0
> rauskommt????
Nun, da hat sich wohl mein Vorredner verschrieben, denn
[mm]\sin\left(\bruch{\pi}{2}\right)=1\not=0[/mm]
>
> Eine Freundin kam auf 3/2 als Ergebnis ?!?!?!?!?!?
Dann passt das auch, was die Freundin herausbekommt.
>
> danke Moni
Gruß
MathePower
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