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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Do 28.10.2004 | | Autor: | Pit |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
mit welcher Begründung darf ich bei folgendem inneren Integral den Hauptsatz anwenden ?
[mm] \integral_{0}^{1} (\integral_{- \wurzel{x}}^{\wurzel{x}} {xy^{2} dy)}dx
[/mm]
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Hallöchen!
> Mit welcher Begründung darf ich bei folgendem inneren
> Integral den Hauptsatz anwenden ?
Ich hoffe, ich antworte Dir jetzt auf Deine Frage, denn ich weiss nicht so recht, ob Du mit dem Hauptsatz auch den Fundamentalsatz der Integral- und Differentialrechnung meinst.
Falls ja, kannst Du wie folgt argumentieren:
> [mm]\integral_{0}^{1} (\integral_{- \wurzel{x}}^{\wurzel{x}} {xy^{2} dy)}dx[/mm]
Bezogen auf das innere Intergal (dy) ist x eine Konstante, die Du somit schon mal vor das Integral ziehen kannst.
Somit integrierst Du über eine Funktion f auf dem abgeschlossenen Intrevall [mm][- \wurzel{x},\wurzel{x}][/mm], die in die reellen Zahlen abbildet. Also: f(y) = [mm] y^2.
[/mm]
f ist offensichtlich stetig.
Und zu f findet man auch eine Stammfunktion F.
Also ist der FDI anwendbar.
Falls Du darauf nicht hinaus wolltest, poste erneut!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Pit |
Ja,danke für die Antwort. Die Frage war,welche Bedingungen an die innere Funktion gestellt werden,so daß man den HDI anwenden darf.
Noch eine Frage hätte ich. Welchen konstanten Wert dürfen die Integrations
grenzen annehmen ? Auch z.B. [mm] \wurzel{18},obwohl [/mm] später,im äußeren Integral, x nur zwischen 0 und 1 ist.
Gruss Pit
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Fr 29.10.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Pit!
Zu lösen war ja:
[mm] $\int\limits_0^1 \int\limits_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}x y^2\, dy\, [/mm] dx$.
Innen ist für jedes feste $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ das Integral
[mm] $\int\limits_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} xy^2\, [/mm] dy$
zu lösen. Hier ist also $x$ als Konstante zu lesen.
Natürlich kann man nun den HDI anwenden, da die Funktion $y [mm] \mapsto y^2$ [/mm] auf [mm] $[-\sqrt{x},\sqrt{x}]$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [0,1]$ eine Stammfunktion besitzt.
Man erhält (falls ich mich nicht verrechnet habe  ):
[mm] $\int\limits_0^1 \int\limits_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}x y^2\, dy\, [/mm] dx$
$= [mm] \int\limits_0^1 [/mm] x [mm] \left( \frac{1}{3}y^3 \vert_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} \right) [/mm] dx$
$= [mm] \int\limits_0^1 [/mm] x [mm] \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\, [/mm] dx$
$= [mm] \frac{2}{3} \int\limits_0^1 x^{\frac{5}{2}} \, [/mm] dx$
$= [mm] \frac{4}{15} x^{\frac{7}{2}} \vert_0^1$
[/mm]
$= [mm] \frac{4}{15}$.
[/mm]
Verstehst du die Rechnung?
Liebe Grüße
Julius
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