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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:04 So 06.01.2013 | | Autor: | brueni |
| Aufgabe | | Ausgleichung von Zylindern, die schief im R3 liegen |
Hallo,
ich möchte eine Zylinder in eine 3D Punktwolke fitten. Bisher habe ich nur die Möglichkeit gefunden, die Kocircularität auszunutzen, also die Punktwolke erstmal in eine genährte Position zur Z-Achse zu stellen und dann die Gleichung [mm] Min(x^2-y^2-r^2) [/mm] anzusetzen. Das bedeutet aber, dass ich erstmal eine 3D Transformation vorschalten muss, diese ausmultiplizieren muss und erst dann mit Gauss rangehen kann. Außerdem habe ich ein wenig Sorge, dass die Näherungswerte nicht gut genug die Parameter abbilden, um die Ausgleichung konvergieren zu lassen.
Ich kann über die Quadriken im R3 gehen, also Fläche 2. Ordnung ausgleichen, dann eine Hauptachsentransformation und dann genähert die Minimierungsaufgabe stellen. Daran stört mich aber, dass ich mindestens 9 Punkte brauche.
Ein Zylinder hat 7 Unbekannte (X,Y,Z und i,j,k + R), also sollten rechnerisch 3 Punkte ausreichen, geometrisch ab 4 und mit Ausgleichung ab 6 Punkten.
Kann mir jemand einen Tip über einen bestehenden Lösungsansatz geben?
LG
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:30 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.was hat das mit dem Thema Doppelpost und C zu tun?
2.was bedeutet es in eine 3d Wolke zu fitten.
3. wasist von dem Zylinder bekannt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mo 07.01.2013 | | Autor: | brueni |
Hallo Leduart,
Mit dem Diskussionsthema hab ich mich verklickt, war mein erster post in dem Forum.
Zylinder fitten heisst, ich habe eine 3D Punktwolke (6 bis n Punkte auf der Zylinderoberfläche) und möchte in die Punktwolke den best-möglichen Zylinder nach Gauss legen (Ausgleichung, Zielfunktion Minimierung der Quadratsumme der Verbesserungen, Verbesserungen sind die euklidischen Abstände der Punkte auf die Mantelfläche des ausgeglichenen Zylinders).
Über den Zylinder ist sonst nichts bekannt, d.h. er liegt irgendwie im R3 und der Radius ist auch nicht bekannt.
MfG
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Mo 07.01.2013 | | Autor: | chrisno |
So wie ich das verstehe, suchst Du einen Zylinder, dessen Oberfläche am besten zu einem gegebenen 3-D-Datensatz passt. Dabei soll von jedem Datenpunkt der kürzeste Abstand zur Zylinderoberfläche bestimmt werden, dann werden diese Abstände quadriert und addiert. Der beste Zylinder ist der, für den die Summe minimal wird. Soll der Zylinder auch eine Höhe haben? Wahrscheinlich nicht.
Für den Zylinder benötigst Du
- 3 Schwerpunktkoordinaten [mm] $x_s, y_s, z_s$
[/mm]
- 2 Winkelkoordinaten um die Orientierung zu bestimmen [mm] $\phi_z, \theta_z$ [/mm]
ein dritter Winkel kommt wegen der Rotationssymmetrie nicht vor
- den Radius r,
also insgesamt 6 Parameter.
Ein Parameter muss aber noch beseitigt werden, da der Zylinder translationsinvariant zur z-Achse ist.
Also würde ich die Punktwolke zuerst rotieren und dann nach x und y verschieben.
Warum fürchtest Du, dass diese Transformation zu Näherungsfehlern führt? Ein anderes Vorgehen macht dann Sinn, wenn es sicher zu massiv weniger Rechenaufwand führt. Da würde ich aber erst ab einem Faktor 10 anfangen nachzudenken.
Egal, was Du machst, wenn Du mehr als 5 Paramter bestimmst, wird dir die Numerik Probleme bereiten, es sei denn, Du hast ein Programm, das automatisch hochkorrelierte Paramter stilllegt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Fr 01.02.2013 | | Autor: | brueni |
Hallo,
die Lösung war eigentlich ganz einfach:
Ich benutze die Tatsache, dass alle Punkte ja theoretisch den gleichen Abstand zu der Mittelachse haben (die dummerweise schief im Raum liegt).
Also nehme ich eine Geradengleichung, bestimme den Abstand der Punkte auf der Mantelfläche zu der Geraden (a-p)xu, wobei a der Punkt auf der Mantelfäche ist, p ein Punkt auf der zylinderachse und u der Richtungsvektor der Zylinder Achse.
Alles Linearisiert, in das Gauss-Markov- Modell reingehauen und sollte funktionieren.
(Leider habe ich festgestellt, dass ich bei der Herleitung dieser Lösung nur nachweise, dass der Zylinder wirklich eine Quadrik im R3 ist. aber jetzt kann ich die Parameter besser interpretieren und spare mir die Hauptachsentransformation (ist doof zu programmieren)).
LG
Thomas
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