Doppelpunkte/singuläre Stellen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:11 Fr 27.05.2005 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe, vielleicht zu einfach um drauf zu kommen, mir fällt jedenfalls nix dazu ein.
Bweisen Sie, dass eine Kurve im Falle einer expliziten Parametrisierung weder Doppelpunkte noch singuläre Stellen hat.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
schreibe die Funktion y = f(x) so:
[mm]g(x,\;y)\;: = \;y\; - \;f(x)[/mm]
Dann ist eine implizite Funktion g(x, y) = 0 gegeben. Folglich kann die dann auf singuläre Punkte untersucht werden:
Bedingungsgleichungen hierfür sind:
[mm]\begin{array}{l}
g(x,\;y)\; = \;0 \\
g_{x} \; = \;0 \\
g_{y} \; = \;0 \\
\end{array}[/mm]
Eine solche implizite Funktion hat einen Doppelpunkt, wenn [mm]
g_{xy}^{2} \; > \;g_{xx} \;g_{yy} [/mm]
Natürlich muß ein singulärer Punkt vorliegen.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Mi 01.06.2005 | | Autor: | bobby |
Ok, das ist mir jetzt klar.
Aber ich versteh nicht ganz, die Funktion, die du geschrieben hast erfüllt doch genau die Eigenschaften für die singulären Stellen, bei den Doppelpunkten käme ich auf 0=0, also demnach hätte sie keine, aber die Funktion die gesucht ist soll doch weder Doppepunkte noch singuläre Stellen haben, die die du geschrieben hast hat doch aber Singuläre Stellen!?????!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bobby,
> Aber ich versteh nicht ganz, die Funktion, die du
> geschrieben hast erfüllt doch genau die Eigenschaften für
> die singulären Stellen, bei den Doppelpunkten käme ich auf
> 0=0, also demnach hätte sie keine, aber die Funktion die
> gesucht ist soll doch weder Doppepunkte noch singuläre
> Stellen haben, die die du geschrieben hast hat doch aber
> Singuläre Stellen!?????!
Die so definierte Funktion, hat keine singulären Stellen.
Es ist [mm]g\left( {x,\;y} \right)\; = \;0[/mm] erfüllt.
Die weiteren Bedingungen [mm]g_{x} (x,\;y)\; = \;g_{y} (x,\;y)\; = \;0[/mm] sind aber nicht erfüllt.
[mm]\begin{gathered}
g_{x} (x,\;y)\; = \;\frac{{\delta g(x,\;y)}}
{{\delta x}}\; = \; - \;f'\left( x \right) \hfill \\
g_{y} (x,\;y)\; = \;\frac{{\delta g(x,\;y)}}
{{\delta y}}\; = \;1 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Damit ein Doppelpunkt vorliegen kann, müssen die Bedingungsgleichungen [mm]g\left( {x,\;y} \right)\; = \;0[/mm] und [mm]g_{x} (x,\;y)\; = \;g_{y} (x,\;y)\; = \;0[/mm] erfüllt sein. Die Bedingungsgleichungen sind hier aber nicht erfüllt. Die Funktion [mm]g\left( {x,\;y} \right)\; = \;y\; - \;f(x)\; = \;0[/mm] hat also keine singulären Stellen. Demzufolge hat sie auch keine Doppelpunkte, da für das Vorliegen von Doppelpunkten ein singulärer Punkt vorhanden sein muß.
Gruß
MathePower
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