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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:44 Fr 05.01.2007 | | Autor: | lene233 |
| Aufgabe | Seien [mm] a_{j,k}:=3^{1-k} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] j [mm] \le [/mm] k und [mm] a_{j,k}:=0 [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] k < j.
Berechnen Sie die Summen
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\summe_{j=0}^{\infty} a_{j,k}) [/mm] und [mm] \summe_{j=0}^{\infty}(\summe_{k=0}^{\infty} a_{j,k}). [/mm]
Sind die Ergebnisse gleich? |
Hallo,
für die Summen an sich habe ich wohl Beispiele. Doch da wurde dieses [mm] a_{j,k} [/mm] nicht festgelegt. Ohne diese Festlegung wäre es ja der Cauchyscher Doppelreihensatz und die beiden Summen wären gleich.
Wie gehe ich nun dabei vor? Setze ich für die [mm] a_{j,k} [/mm] bei den Summen jeweils [mm] 3^{1-k} [/mm] und 0 ein?
Ich habe es versucht mir verständlich zu machen mit den Zeilen- und Spaltenprodukten, aber da kam auch nichts gescheites bei raus.
Wenigstens eine kleine Hilfestellung wäre toll  Ich kann es nicht so recht nachvollziehen...
lg lene
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Da es sich um Reihen mit lauter nichtnegativen Summanden handelt, sind entweder beide Reihen divergent, oder es sind beide Reihen konvergent mit demselben Grenzwert.
Berechnen wir zuerst die innere Reihe auf der linken Seite: [mm]\sum_{j=0}^{\infty}~a_{jk}[/mm]
Die Summe läuft über [mm]j[/mm]. Wenn nun [mm]j>k[/mm] ist, dann sind alle Summanden 0. Es bleibt also eine endliche Summe übrig:
[mm]\sum_{j=0}^{\infty}~a_{jk} = \sum_{j=0}^k~a_{jk} = \sum_{j=0}^k~3^{1-k} = (k+1) \, 3^{1-k}[/mm]
Daher gilt:
[mm]\sum_{k=0}^{\infty}~\left( \sum_{j=0}^{\infty}~a_{jk} \right) = \sum_{k=0}^{\infty}~(k+1) \, 3^{1-k}[/mm]
Und analog kannst du dir überlegen, was die andere Summationsfolge ergibt. (Es liegt übrigens Konvergenz vor; der Summenwert der Doppelreihen ist [mm]6{,}75[/mm].)
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:58 Fr 05.01.2007 | | Autor: | lene233 |
> Da es sich um Reihen mit lauter nichtnegativen Summanden
> handelt, sind entweder beide Reihen divergent, oder es sind
> beide Reihen konvergent mit demselben Grenzwert.
>
> Berechnen wir zuerst die innere Reihe auf der linken Seite:
> [mm]\sum_{j=0}^{\infty}~a_{jk}[/mm]
>
> Die Summe läuft über [mm]j[/mm]. Wenn nun [mm]j>k[/mm] ist, dann sind alle
> Summanden 0. Es bleibt also eine endliche Summe übrig:
>
> [mm]\sum_{j=0}^{\infty}~a_{jk} = \sum_{j=0}^k~a_{jk} = \sum_{j=0}^k~3^{1-k} = (k+1) \, 3^{1-k}[/mm]
>
> Daher gilt:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}~\left( \sum_{j=0}^{\infty}~a_{jk} \right) = \sum_{k=0}^{\infty}~(k+1) \, 3^{1-k}[/mm]
>
Hallo,
also bis dahin habe ich dich wohl verstanden.
> Und analog kannst du dir überlegen, was die andere
> Summationsfolge ergibt. (Es liegt übrigens Konvergenz vor;
> der Summenwert der Doppelreihen ist [mm]6{,}75[/mm].)
doch hier hapert es irgendwie. Wenn ich die rechte analog mache, dann komme ich immer auf 0. Ist das so richtig? Das würde dann doch heißen, dass es konvergent ist, oder? Aber dann wäre es doch schon immer 0, von Anfang an. "Konvergiert" es dann wirklich?
Hat es was zu bedeuten, dass es bei [mm] a_{j,k}:=0 [/mm] für [mm] 0\le [/mm] k<j steht? Also diesmal kein [mm] \le [/mm] zwischen den beiden Variablen?
Der Summenwert der Doppelreihen soll 6,75 betragen. Für die erste Doppelreihe, die du hier gezeigt hast, kommt ja 6,75 raus. Meinst du mit dem Summenwert nur diese erste Doppelreihe, oder beide addiert? Wenn mein 0 richtig wäre, würde ja letztlich auch 6,75 herauskommen. Die erste ist dann aber nicht konvergent, oder? Konvergent ist doch, wenn etwas gegen 0 läuft... hoffe, ich vertu mich jetzt nicht.
Und die letzte Frage "sind die Ergebnisse gleich?" wäre dann doch mit nein zu beantworten, oder?
lg lene
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mo 08.01.2007 | | Autor: | lene233 |
Hallo,
kann mir wirklich keiner helfen? Ich verzweifle total...
lg lene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Mo 08.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
auf der rechten Seite ist doch nicht die innere Summe immer 0! du hast doch aj0+aj1+aj2 +....ajn+...
welche 0 sind hängt von j ab! aj0=0 immer die nächsten sind doch nur 0 wenn j=1 für j=7 etwa ist doch a78,a79, a7n, n>7 immer [mm] 3^{1-k}
[/mm]
d.h du musst die Summe erst bei j anfangen lassen statt bei 0.
Damit arbeit erst mal weiter. wenn du die Summe von j bis [mm] \infty [/mm] berechnen willst, nimm die von 0 bis [mm] \infty [/mm] und zieh die von 0 bis j ab.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mo 08.01.2007 | | Autor: | mb83 |
wie kann man zeigen was der gw der reihe [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] k * 3 ^{-k} ist ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Mo 08.01.2007 | | Autor: | statler |
Hey und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Form dieses Beitrags entspricht so gar nicht den Foren-Regeln.
> wie kann man zeigen was der gw der reihe [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] k
> * 3 ^{-k} ist ?
Du kennst hoffentlich die geometrische Reihe [mm] \summe_{k=1}^{} x^{k}
[/mm]
Wenn du das Ding ableitest, kommst du der Sache näher, wobei du dir noch überlegen müßtest, für welche x das Ergebnis dann gilt.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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