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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:35 Di 26.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | Beweisen Sie mithilfe einer vollständigen Induktion:
[mm] \summe_{n=0}^{m} \summe_{n=k}^{m} \bruch{n}{2^k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{m}\summe_{n=0}^{k} \bruch{n}{2^k} [/mm] |
Hallo zusammen,
Meine erste Frage ist: mache ich das am besten mit vollständiger Induktion oder versuche ich einfach die linke in die rechte Seite umzuformen? Und wie kann ich das erkennen (was einfacher zu beweisen ist, bzw. ob es überhaupt geht)?
Bei der vollst. Ind. fange ich zunächst damit an, das Ganze für m=1 zu zeigen.
Also dann wäre hier die erste innere Summe auf der linken Seite (=der erste Term der äußeren Summe) (1) n=0:die beiden Terme (k=n=0) [mm] \bruch{0}{2^0} [/mm] + (k=m=1) [mm] \bruch{0}{2^1} [/mm] und der 2.Term der äußeren Summe besteht nur aus dem Term (n=m=1) [mm] \bruch{1}{2^1}. [/mm] Also lautet die linke Seite für m=1 : [mm] \bruch{0}{2^0} [/mm] + [mm] \bruch{0}{2^1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^1} [/mm] = 0 + 0 + 0,5 = 0,5
und die rechte Seite: innere Summe besteht nur aus 1 Term: [mm] \bruch{0}{2^0} [/mm] und äußere Summe besteht aus (1) k=0: [mm] \bruch{0}{2^0} [/mm] (2) k=m=1: (für n=0) [mm] \bruch{0}{2^1} [/mm] + (für n=k=1) [mm] \bruch{1}{2^1} [/mm] also ist die rechte Seite für m=1 insgesamt: [mm] \bruch{0}{2^0} [/mm] + [mm] \bruch{0}{2^1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2^1} [/mm] = 0 + 0 + 0,5 = 0,5.
[mm] \Rightarrow [/mm] Aussage stimmt für m=1.
Jetzt muss ja ja die Aussage für m= m+1 auf die Induktionsannahme := Aussage stimmt für m=m zurückführen.
Das habe ich mal folgendermaßen [mm] versucht:\summe_{n=0}^{m+1} \summe_{n=k}^{m+1} \bruch{n}{2^k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{m+1}\summe_{n=0}^{k} \bruch{n}{2^k} \gdw
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{m} (\summe_{n=k}^{m} \bruch{n}{2^k} [/mm] + [mm] \bruch{n}{2^{m+1}}) [/mm] + (*"bei äußerer Summe ist m=m+1, innere Summe ist zerlegt in "Summe m" + "m+1" wie eben bei "äußere Summe m=m") =
[mm] \summe_{k=0}^{m} (\summe_{n=0}^{k} \bruch{n}{2^k}) [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{m+1} \bruch{n}{2^k} \gdw [/mm] ...
wie ihr seht hab ich den ersten Schritt bei der rechten Seite hingekriegt (ob er richtig ist, ist die andere Frage^^), aber bei der linken Seite hab ich grad keine Ahnung, wie ich * hinkriegen soll :-( Kann mir vllt. jemand auf die Sprünge helfen? Oder bin ich etwas sowieso völlig aufm falschem Dampfer??
lG
lG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:15 Mi 27.01.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habs hinbekommen.
Du hast richtiges in deinem Weg drinnen.
Ich schreib mal meine Lösung hin, aus der man gleich sieht das sich Terme rauskürzen und wieder das gleiche dasteht...
[mm] \summe_{n=0}^{m} [\summe_{k=n}^{m}\bruch{n}{2^{k}} [/mm] + [mm] \bruch{n}{2^{m+1}}] [/mm] + [mm] \bruch{m+1}{2^{m+1}} [/mm]
=
[mm] \summe_{k=0}^{m}\summe_{n=0}^{k}\bruch{n}{2^{k}} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{m+1}\bruch{n}{2^{m+1}}
[/mm]
Und der letzte Ausdruck der rechten Seite
[mm] \summe_{n=0}^{m+1}\bruch{n}{2^{m+1}}
[/mm]
ist gleich
[mm] \summe_{n=0}^{m}\bruch{n}{2^{m+1}} [/mm] + [mm] \bruch{m+1}{2^{m+1}}
[/mm]
...
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