Doppelte Nullstellen! < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] \integral{\bruch{dx}{x^3-2x^2}} [/mm] |
Hallo!
Ich habe schon einige Partialbruchzerlegungen gemacht aber:Wie macht man das mit doppelten Nullstellen? Würde mich über einen Tipp sehr freuen!
[mm] x^2=0 x_1_,_2=0
[/mm]
[mm] x_3=2
[/mm]
[mm] 1=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C}{x-2}
[/mm]
Zuerst Null einsetzen:
[mm] 1=B(0-2)+A*0*(0-2)+C*0^2 B=-\bruch{1}{2}
[/mm]
Dann 2:
[mm] 1=C(2^2)+A*2*(2-2)+B(2-2) C=\bruch{1}{4}
[/mm]
Ich habe das so verstanden, dass man als 3. Zahl einfach eine x-beliebige einsetzen kann. Stimmt das? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
[mm] x_0=1 1=1(1-2)+B(1-2)+C1^2 [/mm] A=-1
[mm] -\integral{\bruch{1}{x} dx}-\bruch{1}{2}\integral{\bruch{1}{x^2} dx}+\bruch{1}{4}\integral{\bruch{1}{x-2} dx}
[/mm]
So erhalte ich die Stammfunktion: [mm] \bruch{1}{2*x}-ln(x)+\bruch{1}{4}*ln(x-2)
[/mm]
So stimmt es aber nicht. Könnte mir bitte jemand sagen was ich hier falsch mache?
Vielen Dank im Voraus! 
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Do 26.06.2008 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Alles richtig, bis auf die Tatsache, dass du für A eine beliebige Zahl nimmst. Das kannst du nicht einfach machen! Deine Ergebnisse für B und C stimmen allerdings.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Hall Teufel!
Danke für deine Antwort! Das leuchtet mir jetzt ein ! ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
War auch nur so eine dumme Idee von mir, dann auf diese Weise lässt sich die Gleichung bestimmt nicht lösen(es werden ja nicht 2 Variablen eliminiert).
Wahrscheinlich ist es dann besser ich mache einen Koeffizientenvergleich:
[mm] Ax^2-2Ax+Bx-2B+Cx^2
[/mm]
[mm] (A+C)x^2+x(B-2A)+(-2B)
[/mm]
0=(A+C)
0=(B-2A)
1=-2B
So komme ich nämlich auf:
A=-0,25
B=-0,5
C=+0,25
Ist das so bis jetzt richtig? Jetzt müsste ich nur noch das Gleichungssystem lösen, oder?
Bin ich auf den richtigen Weg?
Gruß
Angelika
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> Bin ich auf den richtigen Weg?
Hallo,
ja, so kann man das machen.
Gruß v. Angela
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Hi, Angelika,
> [mm]\integral{\bruch{dx}{x^3-2x^2}}[/mm]
> Hallo!
>
> Ich habe schon einige Partialbruchzerlegungen gemacht
> aber:Wie macht man das mit doppelten Nullstellen? Würde
> mich über einen Tipp sehr freuen!
>
> [mm]x^2=0 x_1_,_2=0[/mm]
> [mm]x_3=2[/mm]
>
> [mm]mm]
Naja, das muss ja wohl zunächst so aussehen:
[mm] \bruch{1}{x^2*(x-2)}=\bruch{A}{x}+\bruch{B}{x^2}+\bruch{C}{x-2}
[/mm]
Dann multipliziere mit dem Hauptnenner, also [mm] x^{2}*(x-2)
[/mm]
und Du erhältst:
1 = Ax(x-2) + B(x-2) + [mm] Cx^{2} [/mm]
So, und nun setze x=0 und Du hast: B = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
dann x=2 und Du kriegst C = [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
und schließlich für x=1:
1 = -A + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] <=> A = [mm] -\bruch{1}{4}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Do 26.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Angelika,
noch zwei Anmerkungen:
Wenn man weiß, worum es geht, erkennt man zwar einigermaßen, was gemeint ist, dennoch ist sowas:
> [mm]1=B(0-2)=B=-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]1=C(2^2)=\bruch{1}{4}[/mm]
> 1=1(1-2)=-1
ganz, ganz grausam!
Da steht also
[mm] $1=-\bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $1=\bruch{1}{4}$
[/mm]
$1=-1$
Gewöhn Dir das gar nicht erst an (oder schnell wieder ab).
Selbst auf dem heimlichen Schmierzettel wird sowas schnell zur unübersichtlichen Fehlerquelle!
Ich habe das so verstanden, dass man als 3. Zahl einfach eine x-beliebige einsetzen kann. Stimmt das?
Prinzipiell ja. Siehe dazu Zwergleins Antwort, er hat da "einfach" 1 eingesetzt. Für x natürlich! Zusammen mit den bereits ermittelten B und C kommst Du so auf A.
Schöne Grüße
ardik
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Hallo ardik!
Du hast volkommen Recht! Da ist mir wirklich ein schlimmer Fehler passiert!Eigentlich wollte ich ja schreiben [mm] 1=B(0-2)+A*0*(0-2)+C*0^2 B=-\bruch{1}{2}. [/mm] Aber in der Eile habe ichs nicht richtig ausgeschrieben...
Habs jetzt ausgebessert!
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:07 Do 26.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo Angelika,
und da habe ich gleich noch einen Hinweis! 
> [mm]1=B(0-2)+A*0*(0-2)+C*0^2 B=-\bruch{1}{2}.[/mm]
Bei dem hiesigen Formelsystem ist es dann zweckmäßig, das entweder in zwei Zeilen aufzuspalten oder mit einem geeigneten Zeichen zu trennen (hier z.B. [mm] $\gdw$).
[/mm]
Innerhalb einer TeX-Formel getippte Leerstellen dienen nur der besseren Lesbarkeit des Codes, werden aber bei der Darstellung der Formel ignoriert. Wenn man Abstände erzwingen will, siehe ganz unten "Platz zwischen..." auf der Formelhinweisseite.
Z.B. mit ... \qquad ...
[mm]1=B(0-2)+A*0*(0-2)+C*0^2 \qquad B=-\bruch{1}{2}.[/mm]
Schöne Grüße
ardik
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