Doppeltes Integral lösen? < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Ihr!
Ist mein erster post in diesem Forum. Vorweg gleich mal die Frage und anschließend, wovon meine Problemstellung eigentlich handelt.
[mm] \integral_{x_p}^{r}{exp(-x^2/\varepsilon_x^2)*erf(\wurzel{r^2-x^2}/\varepsilon_y)dx}
[/mm]
Dabei gilt 0 < [mm] x_p [/mm] < r. Ich benutze WXMaxima auf Ubuntu. Dieses Integral ist das Programm aber leider nicht im Stande zu lösen. Habt ihr andere Programme mit denen es evtl. funktioniert oder kann man dieses Integral nicht lösen?
Die zu Grunde liegende Problemstellung:
Ich habe einen elliptisch divergierenden Laserstrahl und möchte den Intensitätsverlust berechnen, der durch Einsatz einer Lochblende entsteht.
Dazu habe ich die Fläche berechnet (xy-Ebene, Strahlquerschnitt) , die durch die Blende wegfällt. Außerdem kenne ich bereits die Intensitätsverteilung f(x,y). Ohne Blende beschreibt f(x,y) einen "Gauss-Berg" mit elliptischer Grundfläche.
Für meine Rechnung muss ich nun u.a. Doppel-Integral von f(x,y) über einer Krummlinigen Grundfläche berechnen. Genauer gesagt sieht die Grundfläche folgendermaßen aus:
http://www.onlinemathe.de/graph/show/1365
Im konkreten Fall ist:
[mm] f(x,y)=exp(-x^2/\varepsilon_x^2-y^2/\varepsilon_y^2)
[/mm]
und das Doppelintegral:
[mm] I=4*\integral_{0}^{y0}{\integral_{x_p}^{g(y)}{f(x) dx} dy}
[/mm]
mit
[mm] g(y)=\wurzel{r^2-y^2}
[/mm]
Die Grundfläche, über die integriert werden soll, wird durch die Punkte (CBD) (s. Zeichnung) eingeschlossen.
Der Punkt D wird durch das Wertepaar (xp/y0) beschrieben und r ist der Radius des Kreises.
Ich hoffe ihr versteht mich und könnt mir sagen, ob die Integrationsgrenzen des Doppelintegrals stimmen. Hoffentlich habt ihr auch eine Lösung des Integrals parat!
Das ganze wird bei mir in ein Fortran Programm integriert, sprich, kann das Integral nur numerisch gelöst werden muss ich selbst einen entsprechenden Algorithmus in mein Programm integrieren und ich befürchte das sprengt mein Wissen als Chemiker deutlich ;)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Doppeltes-Integral-nicht-berechenbar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 Sa 18.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo spratelboing
Wenn ich nichtmal die frage kriege, ohne in ein anderes forum zu gehen, mach ich mir sicher keine Muehe.
gruss leduart
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Tut mir leid, dass ich nur den link gepostet habe. Jetzt hab ich die Frage im post ausformuliert. Ich hoffe jemand von den admins ändert den Status meiner Frage wieder, denn ich brauche wirklich Hilfe hierbei. Komme allein nicht weiter und möchte das Problem gerne übers Wochenende lösen..
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:25 Sa 18.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ist mein erster post in diesem Forum. Vorweg gleich mal die
> Frage und anschließend, wovon meine Problemstellung
> eigentlich handelt.
>
> [mm]\integral_{x_p}^{r}{exp(-x^2/\varepsilon_x^2)*erf(\wurzel{r^2-x^2}/\varepsilon_y)dx}[/mm]
>
>
> Dabei gilt 0 < [mm]x_p[/mm] < r. Ich benutze WXMaxima auf Ubuntu.
> Dieses Integral ist das Programm aber leider nicht im
> Stande zu lösen. Habt ihr andere Programme mit denen es
> evtl. funktioniert oder kann man dieses Integral nicht
> lösen?
Ich bezweifle, dass sich dieses Integral durch elementare Funktionen darstellen lässt. Am besten versuchst du es numerisch. In Maxima gibt es dafür die Funktion romberg.
> Die zu Grunde liegende Problemstellung:
>
> Ich habe einen elliptisch divergierenden Laserstrahl und
> möchte den Intensitätsverlust berechnen, der durch Einsatz
> einer Lochblende entsteht.
>
>
> Dazu habe ich die Fläche berechnet (xy-Ebene,
> Strahlquerschnitt) , die durch die Blende wegfällt.
> Außerdem kenne ich bereits die Intensitätsverteilung
> f(x,y). Ohne Blende beschreibt f(x,y) einen "Gauss-Berg"
> mit elliptischer Grundfläche.
>
>
> Für meine Rechnung muss ich nun u.a. Doppel-Integral von
> f(x,y) über einer Krummlinigen Grundfläche berechnen.
> Genauer gesagt sieht die Grundfläche folgendermaßen aus:
>
>
> http://www.onlinemathe.de/graph/show/1365
>
>
> Im konkreten Fall ist:
>
> [mm]f(x,y)=exp(-x^2/\varepsilon_x^2-y^2/\varepsilon_y^2)[/mm]
>
> und das Doppelintegral:
>
> [mm]I=4*\integral_{0}^{y0}{\integral_{x_p}^{g(y)}{f(x) dx} dy}[/mm]
>
> mit
>
> [mm]g(y)=\wurzel{r^2-y^2}[/mm]
>
> Die Grundfläche, über die integriert werden soll, wird
> durch die Punkte (CBD) (s. Zeichnung) eingeschlossen.
>
>
> Der Punkt D wird durch das Wertepaar (xp/y0) beschrieben
> und r ist der Radius des Kreises.
>
>
> Ich hoffe ihr versteht mich und könnt mir sagen, ob die
> Integrationsgrenzen des Doppelintegrals stimmen.
> Hoffentlich habt ihr auch eine Lösung des Integrals parat!
>
>
> Das ganze wird bei mir in ein Fortran Programm integriert,
> sprich, kann das Integral nur numerisch gelöst werden muss
> ich selbst einen entsprechenden Algorithmus in mein
> Programm integrieren und ich befürchte das sprengt mein
> Wissen als Chemiker deutlich ;)
Dafür gibt's Unterprogrammbibliotheken. Der Integrand ist harmlos, daher wird jede adaptive Romberg-Routine funktionieren.
Ich glaube, es ist am besten, das Doppelintegral numerisch zu bestimmen. Wenn du das oben genannte Einfachintegral numerisch berechnen willst, brauchst du dafür eine effiziente und genaue Berechnung des Fehlerintegrals.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ![[]](/images/popup.gif) Numerical Recipes in Fortran 77.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
vielen Dank ersteinmal für deine Antwort!
Könntest du mir bitte die Kapitel 4.0 bis 4.6 des Links, den du gepostet hast, als .pdf andersweitig zukommen lassen? (rapidshare, email..)
Ich habe mich an die Anweisungen dort gehalten, kann die Kapitel jedoch leider nicht öffnen. Oder hast du eventuell einen weiteren link zu dieser Anleitung parat, die kein extra zu installierendes plugin erfordert? Das wäre echt super!
Zur Aufgabe meinst du ich sollte gleich das Doppelintegral numerisch lösen? Hmm, ob ich das schaffe? Hab mich jetzt mal etwas in wiki bzw. einem Uni-Skript über numerische Integration eingelesen. Da ging es allerdings immer um Einfachintegrale und auch das hab ich noch nicht ganz kapiert. Was z.B. ist der Gewichtungsfaktor beta (siehe wiki: numerische Integration)? Brauch ich den? Oder is der bei mir eins?
Naja, wäre super, wenn du evtl noch eine Seite kennen würdest auf der numerische Integration von Doppelintegralen möglichst einfach abgehandelt wird. Oder, wenn das Fortran Skript dementsprechende Routinen bereitstellt, eben einen anderen Weg kennst, wie ich an das Skript rankommen kann.
Sorry wegen des langen Textes. Ich hoffe, du kannst mir weiterhelfen!
Gruß!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Sa 18.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> vielen Dank ersteinmal für deine Antwort!
>
> Könntest du mir bitte die Kapitel 4.0 bis 4.6 des Links,
> den du gepostet hast, als .pdf andersweitig zukommen
> lassen? (rapidshare, email..)
> Ich habe mich an die Anweisungen dort gehalten, kann die
> Kapitel jedoch leider nicht öffnen. Oder hast du eventuell
> einen weiteren link zu dieser Anleitung parat, die kein
> extra zu installierendes plugin erfordert? Das wäre echt
> super!
Nein, ich habe die nicht. Ich habe auch nicht nachgeschaut, ob ich das überhaupt darf.
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> Zur Aufgabe meinst du ich sollte gleich das Doppelintegral
> numerisch lösen? Hmm, ob ich das schaffe? Hab mich jetzt
> mal etwas in wiki bzw. einem Uni-Skript über numerische
> Integration eingelesen. Da ging es allerdings immer um
> Einfachintegrale und auch das hab ich noch nicht ganz
> kapiert. Was z.B. ist der Gewichtungsfaktor beta (siehe
> wiki: numerische Integration)? Brauch ich den? Oder is der
> bei mir eins?
Deswegen habe ich geschrieben, du sollst dir eine geeignete Unterprogrammbibliothek suchen. Es selber zu programmieren, ist Zeitverschwendung. Eine einfache Google-Suche findet zum Beispiel sofort
http://people.sc.fsu.edu/~burkardt/f77_src/toms468/toms468.html
Viele Grüße
Rainer
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