Drachen-Fläche < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einem Drachen, bei dem zwei Seiten die Länge 5 cm haben, wird ein Kreis mit einem Durchmesser von 3 cm eingeschlossen.
Frage 1:
Wie groß ist Fläche des Drachen, wenn der Winkel zwischen den beiden gegebenen Seiten 70 ° beträgt?
Frage 2:
Für welchen Winkel wäre die Fläche a) maximal und b) minimal
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Meine Überlegungen dazu:
Die Diagonalen schneiden sich in P.
Der Kreismittelpunkt liegt in M.
Man muss nur eine Hälfte (links oder rechts) des Drachen betrachten (da symmetrisch)
Die Fläche des Drachen ist das Produkt der Länge der Diagonalen dividiert durch 2
Wenn man also die Längen der Strecken DP, AP und PC kennt, wäre man ein gutes Stück weiter. Aber wie erhält man diese Längen?
Eventuell die Strecke AE bestimmen (im Dreieck APB)?
Wenn man AP hat, ließe sich mit Hilfe des Winkels auch PB bestimmen.
Aber wie kriegt man die Lage von M raus und die von C?
Und für Aufgabe 2) wäre dann noch die Ableitung der Flächenfunktion in Abhängigkeit des Winkels zu bilden. Wie sieht denn die Flächenfunktion aus?
Wie funktioniert das alles?
Gemäß Zeichnung ist die Aufgabe zumindest theoretisch eindeutig lösbar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Sa 27.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo rabilein,
hier eine Kurzanleitung für erfahrene Mathematiker wie dich 
3-eck AEM berechnen
3-eck ABM berechnen
rw. 3-eck MBB'
rw 3-eck ABP berechnen
rw 3-eck MBP berechnen
Winkel PBC als Differenz bekannter Winkel berechnen
rw 3-eck PBC berechnen
daraus ergibt sich alles.
Wahrscheinlich gehts noch kürzer, aber das hier war das erste was mir einfiel.
LG
Will
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Kannst du die Strecke DB nicht mit dem Kosinussatz berechnen?
[mm] \overline{DB}²=5²+5²-2*5*5*cos(70°)
[/mm]
Edit: Nein, es geht noch besser.
das Dreieck ABD kannst du ja auch mit der Formel [mm] A=\bruch{1}{2}*b*c*sin(\alpha) [/mm] berechnen. b=5cm, c=5cm, [mm] \alpha=70°.
[/mm]
So hast du das untere Teildreieck.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:19 So 28.10.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Das untere Dreieck ADB ist nicht das Problem, weil da der Kreis noch nicht einfließt.
Da habe ich raus:
[mm] \overline{DB}=5.736 [/mm] cm
[mm] \overline{AP}=4.096 [/mm] cm
Dann das Dreieck MAE - der Winkel bei A ist 35° und der Winkel bei E ist 90°.
Da kommt dann raus:
[mm] \overline{AM}=2.615 [/mm] cm
[mm] \overline{AE}=2.142 [/mm] cm
Aber was ist mit Punkt C?
Von dem Dreieck DBC ist noch recht wenig bekannt. Wie findet man den Tangenten-Punkt T auf [mm] \overline{BC}?
[/mm]
Aus [mm] \overline{DB}=5.736 [/mm] cm folgt: [mm] \overline{PB}=2.868 [/mm] cm
Und dann habe ich: [mm] \overline{PT}=1.5 [/mm] cm (Kreisradius).
Und dann ist da noch der 90°-Winkel bei T
Aus diesen Angaben errechnet man dann: PBC beträgt 31.535°
Und [mm] \overline{PC}=2.868*tan(31.535°)=1.76 [/mm] cm
Dann wäre [mm] \overline{AC}=5.866 [/mm] cm
Die Fläche des Drachen wäre dann also [mm] \bruch{5.866 cm * 5.736 cm}{2}= [/mm] 16.82 [mm] cm^{2}
[/mm]
(Mühsam ernährt sich das Eichhörnchen)
Aber wie soll das Ganze dann mit den Extremwerten gehen? Da müsste man ja eine Funktion aufstellen und diese dann ableiten, oder??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:38 So 28.10.2007 | | Autor: | Teufel |
Wie kommst du auf die 1,5cm? Hast du geschaut, ob P wirklich genau nochmal den Radius halbiert? Aber selbst wenn es so wäre, schaue hier:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ich habe versucht mit den Winkeln zu arbeiten und bin dadurch auch weitergekommen, aber wenn du das ableiten wolltest, wäre das tödlich ;) wäre an einer genauren Ausführung von koepper interessiert.
Wo soll denn B' liegen? Ist der Punkt außerhalb des Drachenvierecks [mm] \overline{PM}cm [/mm] unterhalb bon B?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:39 So 28.10.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Du hast Recht: Ich hatte mich da verschrieben.
M ist der Mittelpunkt des Kreises (und nicht P)
Und die Strecke von M bis zum jeweiligen Tangenten-Punkt (E bzw. T) ist jeweils 1.5 cm.
Jetzt scheint durch diese Versehen wohl alles zahlenmäßig verkehrt zu sein.
Meine Frage geht ja auch eher dahin, inwieweit es überhaupt möglich ist, mit "einfachen Mitteln" *) die Fläche des Drachen zu berechnen. Das müsste meines Erachtens möglich sein.
Das ist allerdings eine zeitraubende "Fiesel-Arbeit". Aber laut meiner Zeichnung lassen sich so nach und nach die einzelnen Strecken und Winkel von vier Dreiecken errechnen.
Und diese Verschachtelung dann in eine Formel zu fassen (für Aufgabe 2), das wäre dann wohl nicht mehr so "einfach".
Allerdings habe ich mir überlegt, dass die maximale Fläche unendlich groß sein könnte: Wenn der Winkel zu spitz wird, dann passt der Kreis gar nicht mehr in den Drachen rein. Also gibt es einen kleinstmöglichen Winkel. Und bei diesem Winkel liegt C im Unendlichen.
Bestimmt kann man so ein Phänomen auch rechnerisch nachweisen (wenn z.B. Tangens gegen 90° strebt oder so ähnlich).
*) einfache Mittel: wenn in einem beliebigen Dreieck drei Größen bekannt sind, so lassen sich die restlichen Größen ausrechnen.
Bei verschachtelten Dreiecken lassen sich auf diese Weise nach und nach immer weitere Größen errechnen.
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