Drachenviereck (Berechnungen) < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:39 Mi 06.01.2010 | | Autor: | MCrack |
| Aufgabe | Drachenviereck ABCD mit Diagonale [AC]=7cm; Winkel Alpha=40°; a=2,5cm; AC ist Symmetrieachse
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Wie berechnet man die fehlenden Winkelmaße, den Flächeninhalt und den Umfang dieses Drachenvierecks?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du ne Zeichnung? ich nehm an, [mm] \alpha [/mm] ist der Winkel bei A, wird also durch AC halbiert. welche Seite ist a?
aber du hast auf jeden Fall ein Teildreieck mit einem Winkel und 2 Seiten, da solltest du die dritte Seite bestimmen können, ebenso die Winkel. Flächeninhalt ist das Produkt der Diagonalen geteilt durch 2 ( die im Drachen senkrecht aufeinander stehen.
Bei solchen Aufgaben fängt man immer mit ner Planzeichnung an, rot, was du schon weisst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:08 Do 07.01.2010 | | Autor: | MCrack |
| Aufgabe | Drachenviereck ABCD mit Diagonale [AC]=7cm; Winkel Alpha=40°; a=2,5cm; AC ist Symmetrieachse
Berechne die fehlenden Winkelmaße, den Flächeninhalt und den Umfang dieses Drachenvierecks! |
Hi Leduart!
Vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe zwar keine Zeichnung bzw. Planzeichnung bekommen, aber ich habe eine Planfigur unter folgender Adresse gefunden:
http://www.informatik.uni-bremen.de/~shahn/mathematik/sinus/drachenviereck.pdf
und mit Hilfe dieser Figur habe ich nun versucht, die Aufgabe zu lösen. Allerdings war das eine riesige Rechnung und ich weiß auch nicht ob die Ergebnisse stimmen und ob es noch einfacher zu berechnen geht. Hier ist also mein Lösungsweg. Stimmt der? Und kann man die Aufgabe noch einfacher berechnen?
Lösungsweg (zur "Drachenviereck-Aufgabe") mit Hilfe der o.g. Planfigur:
Gegeben: [AC] = 7cm; alpha = 40°; a = 2,5cm; [AC] ist Symmetrieachse
Vorüberlegungen: Aus Symmetrieachse [AC] folgt: beta=delta; a=d; b=c; alpha und delta werden durch die Symmetrieachse [AC] halbiert; die Diagonale [BD] wird von der Symmetrieachse [AC] halbiert. Daraus folgt: [BM]=[DM]
1. Berechnung von beta1 und von delta1:
beta1=180°-(90°+0,5alpha)= 180°- (90°+20°) = 70°; beta1 = 70°
Aufgrund der Symmetrieeigenschaft gilt: beta1=delta1 daraus folgt: delta1=70°
2. Berechnung von [BM] (entspricht 0,5[BD] entspricht 0,5f)
[BM] / a = sin(0.5alpha) / sin(Winkel BMA);
[BM] / a = sin 20° / sin 90°; [BM] = sin 20° / sin 90° * 2,5;
[BM] = 0,855 cm (gerundet auf drei Stellen nach dem Komma)
Da [BM] = [DM] ist Diagonale [BD] = 2*[BM]; [BD] = 2*0,855 = 1,710 cm
Da Diagonale [BD] die Diagonale f ist, folgt daraus: f = 1,710 cm
3. Berechnung des Flächeninhalts des Drachenvierecks:
A = 0,5*ef; A = 0,5*7cm*1,710cm = 5,985cm²
Der Flächeninhalt des Drachenvierecks beträgt 5,985cm²
4. Berechnung der Strecke [AM] mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:
[AD]² = [DM]² + [AM]²; [AM]² = [AD]² - [DM]²;
[AM]² = (2,5cm)² - (0,855cm)² = 5,518975 cm²
[AM] = 2,349 cm
5. Berechnen von [MC]
Da [AC] bekannt ist, kann nun [MC] berechnet werden.
[MC] = [AC] - [AM]; [MC] = 7cm - 2,349cm = 4,651cm
6. Berechnung der Seite b (oder c) mit Hilfe des Satzes des Pythagoras
Anmerkung: c = [CD] ; b = [BC]
c² = [MD]² + [CM]²; c² = 0,855² + 4,651²; c²= 22,415 cm²; c = 4,734cm
Aus c = b folgt: b = 4,734cm
Umfang des Drachenvierecks:
U = a + b + c + d;
U = 2,5cm + 4,734cm + 4,734cm + 2,5cm; U = 14,468cm
7. Berechnun des Winkels DCM mit Hile der Sinus- (oder Kosinus-) Winkelfunktion:
Anmerkung: Winkel DCM = 0,5 gamma
sin (Winkel DCM) = Gegenkathete von Winkel DCM / Hypotenuse;
sin (Winkel DCM) = [DM] / [CD];
sin (Winkel DCM) = 0,855cm / 4,734cm; sin (Winkel DCM) = 0,181;
Winkel DCM = 10,405°
8. Berechnung von beta2 mit Hilfe der Winkelsumme im Dreieck
beta2 = 180° - (Winkel BMC + 0,5gamma);
beta2 = 180° - (90° + 10,405°) = 79,595°
9. Berechnung von beta
beta = beta1 + beta2; beta = 70° + 79,595° = 149,595°
Aufgrund der Achsensymmetrie gilt: beta = delta; daraus folgt:
delta = 149,595°
http://www.informatik.uni-bremen.de/~shahn/mathematik/sinus/drachenviereck.pdf
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> Drachenviereck ABCD mit Diagonale [AC]=7cm; Winkel
> Alpha=40°; a=2,5cm; AC ist Symmetrieachse
>
> Berechne die fehlenden Winkelmaße, den Flächeninhalt und
> den Umfang dieses Drachenvierecks!
> Hi Leduart!
>
> Vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe zwar keine
> Zeichnung bzw. Planzeichnung bekommen, aber ich habe eine
> Planfigur unter folgender Adresse gefunden:
>
> http://www.informatik.uni-bremen.de/~shahn/mathematik/sinus/drachenviereck.pdf
>
> und mit Hilfe dieser Figur habe ich nun versucht, die
> Aufgabe zu lösen. Allerdings war das eine riesige Rechnung
> und ich weiß auch nicht ob die Ergebnisse stimmen und ob
> es noch einfacher zu berechnen geht. Hier ist also mein
> Lösungsweg. Stimmt der? Und kann man die Aufgabe noch
> einfacher berechnen?
>
> Lösungsweg (zur "Drachenviereck-Aufgabe") mit Hilfe der
> o.g. Planfigur:
>
> Gegeben: [AC] = 7cm; alpha = 40°; a = 2,5cm; [AC] ist
> Symmetrieachse
>
> Vorüberlegungen: Aus Symmetrieachse [AC] folgt:
> beta=delta; a=d; b=c; alpha und delta werden durch die
> Symmetrieachse [AC] halbiert; die Diagonale [BD] wird von
> der Symmetrieachse [AC] halbiert. Daraus folgt: [BM]=[DM]
>
> 1. Berechnung von beta1 und von delta1:
>
> beta1=180°-(90°+0,5alpha)= 180°- (90°+20°) = 70°;
> beta1 = 70°
>
> Aufgrund der Symmetrieeigenschaft gilt: beta1=delta1 daraus
> folgt: delta1=70°
>
> 2. Berechnung von [BM] (entspricht 0,5[BD] entspricht
> 0,5f)
>
> [BM] / a = sin(0.5alpha) / sin(Winkel BMA);
>
> [BM] / a = sin 20° / sin 90°; [BM] = sin 20° / sin 90°
> * 2,5;
>
> [BM] = 0,855 cm (gerundet auf drei Stellen nach dem Komma)
>
> Da [BM] = [DM] ist Diagonale [BD] = 2*[BM]; [BD] = 2*0,855
> = 1,710 cm
>
> Da Diagonale [BD] die Diagonale f ist, folgt daraus: f =
> 1,710 cm
>
> 3. Berechnung des Flächeninhalts des Drachenvierecks:
>
> A = 0,5*ef; A = 0,5*7cm*1,710cm = 5,985cm²
>
> Der Flächeninhalt des Drachenvierecks beträgt 5,985cm²
>
> 4. Berechnung der Strecke [AM] mit Hilfe des Satzes des
> Pythagoras:
>
> [AD]² = [DM]² + [AM]²; [AM]² = [AD]² - [DM]²;
>
> [AM]² = (2,5cm)² - (0,855cm)² = 5,518975 cm²
>
> [AM] = 2,349 cm
>
> 5. Berechnen von [MC]
>
> Da [AC] bekannt ist, kann nun [MC] berechnet werden.
>
> [MC] = [AC] - [AM]; [MC] = 7cm - 2,349cm = 4,651cm
>
> 6. Berechnung der Seite b (oder c) mit Hilfe des Satzes des
> Pythagoras
>
> Anmerkung: c = [CD] ; b = [BC]
>
> c² = [MD]² + [CM]²; c² = 0,855² + 4,651²; c²=
> 22,415 cm²; c = 4,734cm
>
> Aus c = b folgt: b = 4,734cm
>
> Umfang des Drachenvierecks:
>
> U = a + b + c + d;
>
> U = 2,5cm + 4,734cm + 4,734cm + 2,5cm; U = 14,468cm
>
> 7. Berechnun des Winkels DCM mit Hile der Sinus- (oder
> Kosinus-) Winkelfunktion:
>
> Anmerkung: Winkel DCM = 0,5 gamma
>
> sin (Winkel DCM) = Gegenkathete von Winkel DCM /
> Hypotenuse;
>
> sin (Winkel DCM) = [DM] / [CD];
>
> sin (Winkel DCM) = 0,855cm / 4,734cm; sin (Winkel DCM) =
> 0,181;
>
> Winkel DCM = 10,405°
>
> 8. Berechnung von beta2 mit Hilfe der Winkelsumme im
> Dreieck
>
> beta2 = 180° - (Winkel BMC + 0,5gamma);
>
> beta2 = 180° - (90° + 10,405°) = 79,595°
>
> 9. Berechnung von beta
>
> beta = beta1 + beta2; beta = 70° + 79,595° = 149,595°
>
> Aufgrund der Achsensymmetrie gilt: beta = delta; daraus
> folgt:
>
> delta = 149,595°
>
Hallo MCrack,
das nenne ich mal einen sehr ausführlich dargestellten
Lösungsweg ! Finde ich gut, aber es hätte auch Abkür-
zungsmöglichkeiten gegeben.
Die Ergebnisse habe ich überprüft, sie stimmen bis auf
geringe Rundungsabweichungen. Falls du in deinem
Rechner Zwischenergebnisse abspeichern kannst, würde
ich dir das empfehlen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:45 Do 07.01.2010 | | Autor: | MCrack |
Hi Chwarizmi!
vielen Dank für Deine Mühe und Deine Antwort.
Was meinst Du mit "(...) aber es hätte auch Abkürzungsmöglichkeiten gegeben" ? Meinst Du damit, dass ich innerhalb meines Lösungsweges mir ein paar Zwischenschritte hätte sparen können, (dass ich z.b. einige Seiten oder Winkel nicht hätte berechnen müssen) oder dass es einen (komplett) anderen Lösungsweg gibt, der viel kürzer ist?
lg
MCrack
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:14 Fr 08.01.2010 | | Autor: | weduwe |
AC 7,0
a 2,5
[mm] \alpha\quad{ } 40,0\quad{ } 0,698131701
[/mm]
M schnittpunkt der diagonalen
BM 0,855050358
AM 2,349231552
BC 4,728716345
A 5,985352508
U 14,45743269
[mm] \gamma\quad{ } 20,83514756\quad{ } 0,363641925
[/mm]
[mm] \beta\quad{ } 149,5824262
[/mm]
in excel 
da sollten doch einige zwischenschritte wegfallen können
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Fr 08.01.2010 | | Autor: | MCrack |
Hi weduwe!
danke für Deine Antwort.
Wie man das in Excel macht, weiß ich allerdings nicht (ich kenn mich damit nicht aus). Gibts da irgendwo eine Anleitung dazu?
Warum ich nachfrage: Mich hat ein Freund, der blind ist, gebeten, ihm die Aufgabe zu erklären. Er kann keinen Taschenrechner benutzen und ist deshalb auf Excel angewiesen.
lg
MCrack
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Fr 08.01.2010 | | Autor: | weduwe |
in excel setzt du (nur) die entsprechenden formeln um.
ich habe mich bemüht, wenn es probleme und/oder unklarheiten geben sollte und ich helfen kann, gerne
(wichtig: winkel müssen in excel im bogenmaß angegeben sein)
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
leider funktioniert der plunder mit dem dateihochladen nicht (mehr)
AC 7
a 2,5
[mm] \alpha\quad{ } 40\quad{ } 0,698131701\quad{ } "=B3*pi()/180"\quad{ } bogenmaß
[/mm]
BM 0,855050358 "=B2*sin(C3/2)" a*sin(a/2)
AM 2,349231552 "=B2*cos(C3/2)" a*cos(a/2)
[mm] BC 4,728716345 "=wurzel(B5^2+(B1-B6)^2)" wurzel(BM²+(AC-AM)²)
[/mm]
A 5,985352508 "=B1*B5" AC*BM
U 14,45743269 "=2*(B2+B7)" 2*(a+BC)
[mm] \gamma\quad{ } 20,83514756 "=2*arcsin(B5/B7)*180/pi()" 2*arcsin(BM/BC)*180/p
[/mm]
[mm] \beta\quad{ } 149,5824262 "=180-(B3+B11)/2" 180-(a+g)/2
[/mm]
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> Hi Chwarizmi!
>
> vielen Dank für Deine Mühe und Deine Antwort.
>
> Was meinst Du mit "(...) aber es hätte auch
> Abkürzungsmöglichkeiten gegeben" ? Meinst Du damit, dass
> ich innerhalb meines Lösungsweges mir ein paar
> Zwischenschritte hätte sparen können, (dass ich z.b.
> einige Seiten oder Winkel nicht hätte berechnen müssen)
> oder dass es einen (komplett) anderen Lösungsweg gibt, der
> viel kürzer ist?
Ersteres. Beispielsweise kann man auf die Berechnung
der Teilwinkel bei B verzichten.
Ich bezeichne die Länge der Diagonalen AC mit e und
ihre zwei Abschnitte mit u und v sowie die Länge der
Halbdiagonale BM=MD mit h.
Dann ist:
[mm] h=a*sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)
[/mm]
[mm] u=a*cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)
[/mm]
$\ v=e-u$
[mm] \gamma=2*arctan(h/v)
[/mm]
[mm] \beta=\delta=(360^{\circ}-\alpha-\gamma)/2
[/mm]
[mm] b=\sqrt{h^2+v^2}
[/mm]
$\ u=2*(a+b)$
$\ F=c*h$
Aber lass dich dadurch bitte nicht beirren; deine aus-
führliche Darstellungsweise des Lösungsweges fand
ich wirklich vorbildlich !
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:31 Fr 08.01.2010 | | Autor: | MCrack |
Hi Al-Chwarizmi!
es ist schön, dass es so hilfsbereite Menschen wie Dich gibt.
Auch dass Du immer so schnell geantwortet hast, hat mich sehr gefreut.
lg
MCrack
p.s. dieses forum ist echt cool... ich werde immer mal wieder vorbeischauen :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:54 Fr 08.01.2010 | | Autor: | MCrack |
ich habe Deinen Rechenweg nachgerechnet bzw. nachvollzogen.
Allerdings sind mir dazu noch zwei Dinge unklar:
1. mit dem "u" in der Formel "u=2*(a+b)" meinst Du den Umfang U, oder?
2. den Rechenschritt, mit dem Du den Flächeninhalt des Dracheninhalt berechnest, verstehe ich nicht.
Du hast folgende Formel dafür verwendet: "F = c*h"
Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks wird doch mit folgender Formel berechnet: A = 0,5ef (e und f sind die beiden Diagonalen des Drachenvierecks)
Was ist bei Dir "c" ? (wobei "h" die Halbdiagonale ist; das ist mir klar)
lg
MCrack
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Fr 08.01.2010 | | Autor: | weduwe |
ja u = U der umfang
und da hast du dich verlesen:
[mm]A=AC\cdot BM[/mm] mit AC [mm] =\equiv [/mm] e und BM [mm] =\frac{1}{2}\cdot [/mm] f
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> ich habe Deinen Rechenweg nachgerechnet bzw. nachvollzogen.
>
> Allerdings sind mir dazu noch zwei Dinge unklar:
>
> 1. mit dem "u" in der Formel "u=2*(a+b)" meinst Du den
> Umfang U, oder?
Ja; ich habe ihn wie sonst üblich mit einem kleinen u
bezeichnet.
> 2. den Rechenschritt, mit dem Du den Flächeninhalt des
> Dracheninhalt berechnest, verstehe ich nicht.
>
> Du hast folgende Formel dafür verwendet: "F = c*h"
>
> Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks wird doch mit
> folgender Formel berechnet: A = 0,5ef (e und f sind die
> beiden Diagonalen des Drachenvierecks)
>
> Was ist bei Dir "c" ? (wobei "h" die Halbdiagonale ist;
> das ist mir klar)
Sorry, das war ein Fehler. Statt $\ F=c*h$ sollte es heißen $\ F=e*h$ .
(Auf meinem Bildschirm kann ich leider das "$\ e$" auch kaum
von einem "$\ c$" unterscheiden ...)
Gruß Al-Chw.
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