Drehachse,Drehwinkel bestimmen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:23 Di 13.07.2004 | | Autor: | mausi |
Hallo ich soll diese Aufgabe lösen weiss aber gar nicht wie ich da ran gehen soll
Sei [mm] L:=D_1*D_2 [/mm] die Verknüpfung von 2 Drehungen im [mm] \IR^3,D_1 [/mm] die Drehung um die x-Achse um den Winkel [mm] pi/6,D_2 [/mm] Drehung um die z_Achse um den Winkel pi/3.Man bestimme die Drehachse und den Drehwinkel von L
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Di 13.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mausi
> Hallo ich soll diese Aufgabe lösen weiss aber gar nicht wie
> ich da ran gehen soll
> Sei [mm]L:=D_1*D_2[/mm] die Verknüpfung von 2 Drehungen im
> [mm]\IR^3,D_1[/mm] die Drehung um die x-Achse um den Winkel [mm]pi/6,D_2[/mm]
> Drehung um die z_Achse um den Winkel pi/3.Man bestimme die
> Drehachse und den Drehwinkel von L
>
zunächst solltest du dir überlegen, wie denn die beiden Matrizen [mm] $D_{1}$ [/mm] und [mm] $D_{2}$ [/mm] aussehen.
Mit dem Wissen, dass die Bilder der Basisvektoren als Spalten in der Matrix auftreten, sollte das nicht allzu schwierig sein.
Bei der Drehung um die $x$-Achse stellst du dir einfach mal vor, dass du dein Koordinatensystem an der $x$-Achse packst, zwischen Daumen und Zeigfinger, und dann um den Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] nach links drehst. Dann siehst du, dass die x-Achse stabil im Raume bleibst (die ist ja zwischen Daumen und Zeigfinger festgehalten). Der Einheitsvektor in $y$-Richtung hingegen erhält die Koordinaten $(0, [mm] \cos{\alpha}, \sin{\alpha})$, [/mm] und in $z$-Richtung: $(0, [mm] -\sin{\alpha}, \cos{\alpha})$.
[/mm]
Somit erhalte ich für [mm] $D_{1}$:
[/mm]
[mm] $D_{1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos{\alpha}&-\sin{\alpha}\\0&\sin{\alpha}&\cos{\alpha}\end{pmatrix}$
[/mm]
Das solltest du auch für die $z$-Achse tun, um die Matrix [mm] $D_{2}$ [/mm] zu erhalten.
Dabei sind natürlich die gegebenen Winkel einzusetzen. 
Darauf erhältst du die Matrix $L$ durch Ausmultiplizieren von [mm] $D_{1}$ [/mm] und [mm] $D_{2}$, [/mm] wie in der Aufgabe vorgegeben.
Durch was ist eigentlich bei einer Drehung im [mm] $\mathbb{R}^{3}$ [/mm] die Drehachse charakterisiert?
Richtig: ein Vektor mit Eigenwert $1$ erzeugt die Drehachse.
Somit brauchst du nur einen Vektor zu finden, der bei der durch $L$ vermittelten Abbildung (Drehung) den Eigenwert $1$ hat, und schon hast du deine Drehachse!
Und der Drehwinkel?
Weil man weiss, dass ähnliche Matrizen die gleiche Spur haben, und sich $L$ bezüglich einer Orthonormalbasis mit dem die Drehachse erzeugenden Vektor als ersten Basisvektor so darstellen würde:
$L' = [mm] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos{\alpha}&-\sin{\alpha}\\0&\sin{\alpha}&\cos{\alpha}\end{pmatrix}$
[/mm]
(siehe oben), kannst du bei $L$ einfach die Spur berechnen und nach der Formel: $Spur(L) = 1 + [mm] 2*\cos{\alpha}$ [/mm] den Kosinus des gesuchten Winkels berechnen.
Damit sollte die Aufgab dann gelöst sein.
Kannst du mal beginnen? Wenn dabei irgendwelche Schwierigkeiten auftauchen sollten: du weisst ja, wo du dich melden kannst! 
Mit lieben Grüssen nach Cottbus (Aber nicht an Frau Retzel)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Di 13.07.2004 | | Autor: | mausi |
aha ich verstehe ich habe dann für [mm] D_2 =\begin{pmatrix}
cos \alpha & - sin \alpha & 1\\
sin \alpha & cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Di 13.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Mausi
> aha ich verstehe ich habe dann für [mm]D_2 =\begin{pmatrix}
cos \alpha & - sin \alpha & 1\\
sin \alpha & cos \alpha & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
>
> richtig?
>
Nicht ganz. In der letzten Spalte sollte die $1$ unten, nicht oben stehen.
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Di 13.07.2004 | | Autor: | mausi |
Alles klar danke Paulus,
jetzt muss ich doch [mm] D_1*D_2 [/mm] rechnen,ich setze doch für [mm] \alpha [/mm] dann bei [mm] D_1 [/mm] jeweils pi/6 und bei [mm] D_2 [/mm] pi/3 ein,da kommt doch dann wieder eine 3 x 3 Matrix raus oder?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Di 13.07.2004 | | Autor: | mssdfg |
> Durch was ist eigentlich bei einer Drehung im
> [mm]\mathbb{R}^{3}[/mm] die Drehachse charakterisiert?
> Richtig: ein Vektor mit Eigenwert [mm]1[/mm] erzeugt die
> Drehachse.
>
> Somit brauchst du nur einen Vektor zu finden, der bei der
> durch [mm]L[/mm] vermittelten Abbildung (Drehung) den Eigenwert [mm]1[/mm]
> hat, und schon hast du deine Drehachse!
>
Und wie findet man diesen Vektor?
zum Drehwinkel:
Spur(L) = a11+a22+a33 (also die Hauptdiagonale aufaddiert)
Spur (L) = 0,5 + 0,433 + 0,866 = 1,799
cos [mm] \alpha [/mm] = (1,799-1)/2
[mm] \alpha [/mm] = 66,45 Grad
Haut das so hin?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 Di 13.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo!
Wie heisst du eigentlich?
> > Durch was ist eigentlich bei einer Drehung im
> > [mm]\mathbb{R}^{3}[/mm] die Drehachse charakterisiert?
> > Richtig: ein Vektor mit Eigenwert [mm]1[/mm] erzeugt die
> > Drehachse.
> >
> > Somit brauchst du nur einen Vektor zu finden, der bei der
>
> > durch [mm]L[/mm] vermittelten Abbildung (Drehung) den Eigenwert [mm]1[/mm]
>
> > hat, und schon hast du deine Drehachse!
> >
> Und wie findet man diesen Vektor?
>
Dazu empfehle ich vorerst einmal, den folgenden Strang durchzuarbeiten:
https://matheraum.de/read?f=16&t=1703&i=1703
> zum Drehwinkel:
>
> Spur(L) = a11+a22+a33 (also die Hauptdiagonale
> aufaddiert)
>
> Spur (L) = 0,5 + 0,433 + 0,866 = 1,799
>
> cos [mm]\alpha[/mm] = (1,799-1)/2
>
> [mm]\alpha[/mm] = 66,45 Grad
>
>
> Haut das so hin?
>
Ja, das haut so hin, wenn ich auch die Wurzeln erst ganz am Schluss auflösen würde. Also:
[mm] $\cos{\alpha} [/mm] = [mm] (3\wurzel{3}-2)/8$
[/mm]
und erst jetzt noch "fertig" ausrechnen.
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:28 Di 13.07.2004 | | Autor: | mssdfg |
Du meintest man muß nur die Eigenwerte der Matrix L bestimmen und wenn ein EW 1 rauskommt,
ermittelt man dazu den Eigenvektor?
Ich bekomme bei der Berechnung der Eigenwerte von L die Lösung:
[mm] 1-1,366\lambda+0,366\lambda^2-\lambda^3
[/mm]
wenn ich da 1 einsetze, ergibt das aber -1 und nicht 0 wie bei EW gefordert.
PS: ich heiße Matthias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Di 13.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Matthias
irgendwie sträubt sich mein mathematisches Gefühl, das zu glauben.
Wie sieht denn deine Abbildungsmatrix $L$ aus?
Es ist ja so, dass sowohl [mm] $D_{1}$ [/mm] als auch [mm] $D_{2}$ [/mm] eigentliche Drehungen darstellen (Determinante = 1 > 0; Zeilen und Spalten bilden ein Orthonormalsystem). Somit müsste doch das hintereinander Ausführen dieser 2 Drehungen wieder eine eigentliche Drehung ergeben (also ohne Spiegelung).
Es ist aber durchaus möglich, dass bei einer Drehung der Eigenwert $-1$ mit einer Vielfachheit $2$ erscheinen könnte, nämlich dann, wenn der Drehwinkel 180 Grad ist. Das ist bei unserem jetzigen Beispiel aber nicht der Fall. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
(Ein anderer Spezialfall könnte noch auftauchen, wenn der drehwinkel 0 Grad wäre, aber auch das ist bei uns nicht der Fall)
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Di 13.07.2004 | | Autor: | mssdfg |
[mm] D_{1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos{\bruch{\Pi}{6}}&-\sin{\bruch{\Pi}{6}}\\0&\sin{\bruch{\Pi}{6}}&\cos{\bruch{\Pi}{6}}\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] D_{2} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\cos{\bruch{\Pi}{3}}&-\sin{\bruch{\Pi}{3}}&0\\\sin{\bruch{\Pi}{3}}&\cos{\bruch{\Pi}{3}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}
[/mm]
also ist L= [mm] \begin{pmatrix}\cos{\bruch{\Pi}{3}}&-\sin{\bruch{\Pi}{3}}&0\\\cos{\bruch{\Pi}{6}}sin{\bruch{\Pi}{3}}&\cos{\bruch{\Pi}{6}}cos{\bruch{\Pi}{3}}&-sin{\bruch{\Pi}{6}}\\sin{\bruch{\Pi}{6}}sin{\bruch{\Pi}{3}}&sin{\bruch{\Pi}{6}}cos{\bruch{\Pi}{3}}&cos{\bruch{\Pi}{6}}\end{pmatrix}
[/mm]
L= [mm] \begin{pmatrix}\ 0,5&-0,866&0\\\ 0,75&0,433&-0,5\\0,433&0,25&0,866\end{pmatrix}
[/mm]
davon die Eigenwerte:
det [mm] (L-\lambda)=
[/mm]
[mm] (0,5-\lambda)(0,433-\lambda)(0,866-\lambda)
[/mm]
+((-0,866)*(-0,5)*0,433)
+0
-0
[mm] -(0,25*(-0,5)*(0,5-\lambda)
[/mm]
[mm] -(0,75*(-0,866)*(0,866-\lambda))
[/mm]
ich glaub ich hab beim auflösen einen Fehler gemacht, muß ich noch mal durchrechnen, hab aber leider keine Zeit mehr, poste das Ergebnis dann am Donnerstag.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Di 13.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Matthias
> [mm]D_{1}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos{\bruch{\Pi}{6}}&-\sin{\bruch{\Pi}{6}}\\0&\sin{\bruch{\Pi}{6}}&\cos{\bruch{\Pi}{6}}\end{pmatrix}
[/mm]
> [mm]D_{2}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix}\cos{\bruch{\Pi}{3}}&-\sin{\bruch{\Pi}{3}}&0\\\sin{\bruch{\Pi}{3}}&\cos{\bruch{\Pi}{3}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}
[/mm]
>
> also ist L=
> [mm]\begin{pmatrix}\cos{\bruch{\Pi}{3}}&-\sin{\bruch{\Pi}{3}}&0\\\cos{\bruch{\Pi}{6}}sin{\bruch{\Pi}{3}}&\cos{\bruch{\Pi}{6}}cos{\bruch{\Pi}{3}}&-sin{\bruch{\Pi}{6}}\\sin{\bruch{\Pi}{6}}sin{\bruch{\Pi}{3}}&sin{\bruch{\Pi}{6}}cos{\bruch{\Pi}{3}}&cos{\bruch{\Pi}{6}}\end{pmatrix}
[/mm]
>
> L= [mm]\begin{pmatrix}\ 0,5&-0,866&0\\\ 0,75&0,433&-0,5\\0,433&0,25&0,866\end{pmatrix}
[/mm]
>
>
> davon die Eigenwerte:
> det [mm](L-\lambda)=
[/mm]
> [mm](0,5-\lambda)(0,433-\lambda)(0,866-\lambda)
[/mm]
> +((-0,866)*(-0,5)*0,433)
> +0
> -0
> [mm]-(0,25*(-0,5)*(0,5-\lambda)
[/mm]
> [mm]-(0,75*(-0,866)*(0,866-\lambda))
[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja, soweit scheint es zu stimmen.
> ich glaub ich hab beim auflösen einen Fehler gemacht, muß
> ich noch mal durchrechnen, hab aber leider keine Zeit mehr,
> poste das Ergebnis dann am Donnerstag.
>
Gut, dann bis Donnerstag!
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Do 15.07.2004 | | Autor: | mssdfg |
Hi,
mein Ergebins lautet:
[mm] 1-1,799\lambda+1,799\lambda^2-\lambda^3
[/mm]
dazu existiert natürlich der Eigenwert 1
und der entsprechende Eigenvektor ist:
[mm] \begin{pmatrix} 0,464 \\ -0,268 \\ 1\end{pmatrix}
[/mm]
ok, das wars
bye
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Do 15.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Matthias
Gratulation! ![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
Mit lieben Grüssen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 15.07.2004 | | Autor: | toffel |
Hallo Paulus,
Wie genau berechnet man denn den Drehwinkel einer Matrix?
Oder besser gefragt: Was genau ist die Spur? Und wie ist der Zusammenhang mit dem Winkel genau.
mfg. Toffel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Do 15.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Toffel
> Hallo Paulus,
>
> Wie genau berechnet man denn den Drehwinkel einer Matrix?
>
Ganz einfach mit dem Wissen, dass ähnliche Matrizen die gleiche Spur haben. Und eine Darstellungsform einer "Drehmatrix" ist ja:
[mm] $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\alpha)&-\sin(\alpha)\\0&\sin(\alpha)&\cos(\alpha)\end{pmatrix}$
[/mm]
Es gilt also: $Spur(A) = 1 + 2 * [mm] \cos(\alpha)$
[/mm]
Du musst also nur die Spur deiner Matrix berechnen und nach obiger Gleichung nach [mm] $\cos(\alpha)$ [/mm] auflösen.
Mit lieben Grüssen
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Ja, genau das musst du jetzt machen!
![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
