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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Mi 30.08.2006 | | Autor: | Kuebi |
| Aufgabe | Ein Körper der Masse m bewege sich in der x-y-Ebene auf der Bahn [mm] y=x^{2} [/mm] mit konstanter Geschwindigkeit v.
Bestimmen Sie den Drehimpuls [mm] \vec{L}(x) [/mm] als Funktion von x für jeden Punkt der Bahn! |
Hallo ihr!
Zu folgender Aufgabe:
Allgemein ist der Drehimpuls ja
[mm] \vec{L}(x)=m*(\vec{r}(x)\times\vec{v}(x)) [/mm] (1)
mit
[mm] \vec{r}(x)=\vektor{x\\x^2\\0}.
[/mm]
Jetzt ist ja
[mm] \vec{r}(x)=\dot{\vec{v}}(x)=\vektor{1\\2*x\\0} [/mm] ?
Aus (1) erhalte ich dann
[mm] \vec{L}(x)=\vektor{0\\0\\m*x^{2}}
[/mm]
Nur macht mich jetzt eine Sache stutzig! Hier geht offensichtlich nirgends der Betrag von v ein, sondern nur die Richtung.
Außerdem wäre mit
[mm] \vec{r}(x)=\dot{\vec{v}}(x)=\vektor{1\\2*x\\0} [/mm] ?
die x-Komponente der Geschwindigkeit ja konstant, aber irgendwie geht diese doch gegen 0, je weiter sich der Körper bewegt?
Deshlab denke ich ist hier irgendwo ein Bug, zumal das Ergebnis wenn ich mich noch recht erinnere
[mm] \vec{L}(x)=\vektor{0\\0\\ \bruch{m*|v|*x^{2}}{\wurzel{4*x^{2}+1}}} [/mm]
heißen soll.
Wäre nett wenn mich jemand darauf hinweisen könnte!
Lg, Kübi
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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> Ein Körper der Masse m bewege sich in der x-y-Ebene auf der
> Bahn [mm]y=x^{2}[/mm] mit konstanter Geschwindigkeit v.
> Bestimmen Sie den Drehimpuls [mm]\vec{L}(x)[/mm] als Funktion von x
> für jeden Punkt der Bahn!
> Hallo ihr!
Hallo Kübi!
>
> Zu folgender Aufgabe:
>
> Allgemein ist der Drehimpuls ja
>
> [mm]\vec{L}(x)=m*(\vec{r}(x)\times\vec{v}(x))[/mm] (1)
>
> mit
>
> [mm]\vec{r}(x)=\vektor{x\\x^2\\0}.[/mm]
>
> Jetzt ist ja
>
> [mm]\vec{r}(x)=\dot{\vec{v}}(x)=\vektor{1\\2*x\\0}[/mm] ?
Müßte es nicht eher so heißen:
[mm] \vec{v}(x)=\dot{\vec{r}}(x)=\vektor{1\\2*x\\0} [/mm] ?
>
> Aus (1) erhalte ich dann
>
> [mm]\vec{L}(x)=\vektor{0\\0\\m*x^{2}}[/mm]
>
> Nur macht mich jetzt eine Sache stutzig! Hier geht
> offensichtlich nirgends der Betrag von v ein, sondern nur
> die Richtung.
>
> Außerdem wäre mit
>
>
> [mm]\vec{r}(x)=\dot{\vec{v}}(x)=\vektor{1\\2*x\\0}[/mm] ?
>
> die x-Komponente der Geschwindigkeit ja konstant, aber
> irgendwie geht diese doch gegen 0, je weiter sich der
> Körper bewegt?
>
> Deshlab denke ich ist hier irgendwo ein Bug, zumal das
> Ergebnis wenn ich mich noch recht erinnere
>
>
> [mm]\vec{L}(x)=\vektor{0\\0\\ \bruch{m*|v|*x^{2}}{\wurzel{4*x^{2}+1}}}[/mm]
>
> heißen soll.
Wenn man den Betrag von Vektor [mm] \vec{v} [/mm] bildet erhält man:
[mm] |v|=|\vec{v}|=|\vektor{1\\2*x\\0}|=\wurzel{1+4x^{2}}
[/mm]
Mit Blick auf deine Musterlösung müßten sich |v| und [mm] \wurzel{1+4x^{2}} [/mm] dementsprechend kürzen lassen, so daß die von dir ermittelte Lösung entstünde.
Ich bin demnach der Meinung, daß deine Lösung korrekt ist.
>
> Wäre nett wenn mich jemand darauf hinweisen könnte!
>
> Lg, Kübi
>
Gruß,
Tommy
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Hi Kuebi!
Die Lösung zu deinem Problem hast du schon nahezu selbst geliefert. Die Parametrisierung [mm] \vec r (x) [/mm] der Parabel ist korrekt. Der Drehimpuls ist bekanntlich gegeben über [mm] \vec L = \vec r \times \vec p = m \cdot (\vec r \times \dot{\vec r}) [/mm]. Bei dem [mm] \dot{\vec r} [/mm] handelt es sich um eine zeitliche Ableitung, d.h. [mm] \frac{d \, \vec r}{dt} [/mm]. Demnach seien die Komponenten von [mm] \vec r [/mm] von der Zeit [mm] t [/mm] abhängig: [mm] x(t) [/mm]. Du hast fälschlicherweise nach [mm] x [/mm] abgeleitet, vorausgesetzt, es handelt sich nicht um [mm] y = t^2 [/mm]. Es gilt schließlich:
[mm] \dot{\vec r} = \frac{d\, \vec r}{dt} = \begin{pmatrix} \dot{x} \\ 2\,x\, \dot{x} \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] .
Die Ableitung von [mm] x(t)^2 [/mm] nach [mm] t [/mm] kannst du mit der Produktregel schnell nachvollziehen. Für den Drehimpuls ergibt sich:
[mm] \vec L = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ m\, \dot{x} \, x^2 \end{pmatrix} [/mm] .
Um die konstante Geschwindigkeit [mm] v [/mm] ins Spiel zu bringen, wird der Betrag von [mm] \dot{\vec r} = \vec v [/mm] gebildet:
[mm] v = |\vec v| = \sqrt{\dot{x}^2 + 4\, \dot{x}^2 \, x^2} = \dot{x} \, \sqrt{1+4\,x^2} [/mm] .
Diese Gleichung kannst du nun in den Ausdruck für den Drehimpuls einsetzen und erhältst deine vermutete Lösung:
[mm] \vec L = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{m\, v \, x^2}{\sqrt{1+4\,x^2}} \end{pmatrix} [/mm] .
Freundliche Grüße,
Lightningfox
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