Drehimpuls < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der Betrag des Drehimpulses ist:
[mm] L=mr^2\bruch{d\phi}{dt}
[/mm]
Begründen Sie. |
Hallo zusammen, ist nur eine ganz kurze Frage, weil ich mir das grade absolut nicht erklären kann:
Der Drehimpuls ist ja definiert als [mm] \vec{L}=\vec{r} [/mm] x [mm] \vec{p}=m(\vec{r}x \bruch{dr}{dt}).
[/mm]
Offensichtsich wird der Betrag jetzt in Polarkoordinaten berechnet, für den Ortsvektor [mm] \bruch{dr}{dt}erhält [/mm] man ja in Polarkoordinaten: [mm] \vec{\bruch{dr}{dt}}=\bruch{dr}{dt}*\vec{e_{r}}+r*\bruch{d\phi}{dt}*\vec{e_{\phi}}...
[/mm]
Der Betrag eines Vektors ist doch definiert als die Wurzel der quadrate der einzelnen Komponenten...
Ich weiß nicht ob ich völlig auf dem Holzweg bin, aber ich kann mir die in der Aufgabenstellung genannte Formel für den Betrag des Drehimpulses einfach nicht erklären =(
Wäre sehr nett, wenn mir das eben jemand beantworten könnte!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:01 So 23.01.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo Theoretix,
> Der Betrag des Drehimpulses ist:
>
> [mm]L=mr^2\bruch{d\phi}{dt}[/mm]
>
> Begründen Sie.
> Hallo zusammen, ist nur eine ganz kurze Frage, weil ich
> mir das grade absolut nicht erklären kann:
>
> Der Drehimpuls ist ja definiert als [mm]\vec{L}=\vec{r}[/mm] x
> [mm]\vec{p}=m(\vec{r}x \bruch{dr}{dt}).[/mm]
>
> Offensichtsich wird der Betrag jetzt in Polarkoordinaten
> berechnet, für den Ortsvektor [mm]\bruch{dr}{dt}erhält[/mm] man ja
> in Polarkoordinaten:
> [mm]\vec{\bruch{dr}{dt}}=\bruch{dr}{dt}*\vec{e_{r}}+r*\bruch{d\phi}{dt}*\vec{e_{\phi}}...[/mm]
>
ja, das stimmt.
> Der Betrag eines Vektors ist doch definiert als die Wurzel
> der quadrate der einzelnen Komponenten...
ja, genau. Aber bevor Du den Betrag des Vektors berechnen kannst, musst Du erstmal den Vektor selbst berechnen. Es ist nach dem Betrag des Drehimpulses gefragt, nicht dach dem der Geschwindigkeit.
>
> Ich weiß nicht ob ich völlig auf dem Holzweg bin, aber
> ich kann mir die in der Aufgabenstellung genannte Formel
> für den Betrag des Drehimpulses einfach nicht erklären
> =(
Rechne in Polarkoordinaten:
[mm] $\vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c}r(t)\cdot\cos\left(\varphi(t)\right)\\r(t)\cdot\sin\left(\varphi(t)\right)\end{array}\right)$
[/mm]
[mm] $\vec{p}=m\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{r}(t)}{\mathrm{d}t}$
[/mm]
diese beiden Kreuzmultiplizieren und dann den Betrag bestimmen.
> Wäre sehr nett, wenn mir das eben jemand beantworten
> könnte!
>
> Gruß
Gruß,
notinX
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Hallo, zunächst danke für die Antwort!
Wenn ich also die beiden Vektoren [mm] p=\vektor{r cos(\varphi) \\ r sin(\varphi)} [/mm] und [mm] r=m*\bruch{dr}{dt}=\vektor{m*\bruch{dr}{dt} \\ m*\bruch{dr}{dt}} [/mm] ??
(Was ist denn die Vektordarstellung von r?) Der Impuls hat seinen Richtungsvektor doch in der xy Ebene, also müsste er doch auch irgendwie in beide Komponenten eingehen?
Jedenfalls, wenn ich das jetzt so kreuzmultipliziere bekomme ich:
[mm] r*cos(\varphi)*m\bruch{dr}{dt}-r*sin(\varphi)m*\bruch{dr}{dt}...und [/mm] wenn ich davon den Betrag bilde komme ich ja nicht auf das erwünschte Ergebnis für den Betrag des Drehimpulses.
Wahrscheinlich liegt es an der Darstellung von r in seinen Komponenten.
Wäre nett, wenn nochmal schnell jemand helfen könnte!
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 So 23.01.2011 | | Autor: | notinX |
Hi,
> Hallo, zunächst danke für die Antwort!
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> Wenn ich also die beiden Vektoren [mm]p=\vektor{r cos(\varphi) \\ r sin(\varphi)}[/mm]
> und [mm]r=m*\bruch{dr}{dt}=\vektor{m*\bruch{dr}{dt} \\ m*\bruch{dr}{dt}}[/mm]
> ??
Wie kommst Du denn darauf?
Sieh Dir doch mal meine erste Antwort an, da habe ich Dir den Ortsvektor genannt. Um den Impuls zu bekommen musst Du den Ortsvektor komponentenweise nach der Zeit ableiten und mit der Masse multiplizieren. Denk an Ketten- und Produktregel!
> (Was ist denn die Vektordarstellung von r?) Der Impuls
Hast Du meinen Beitrag nicht gelesen? Ich hab sie Dir explizit hingeschrieben.
> hat
> seinen Richtungsvektor doch in der xy Ebene, also müsste
> er doch auch irgendwie in beide Komponenten eingehen?
Orts- und Impulsvektor liegen in der x-y-Ebene, das Kreuzprodukt aus beiden steht somit senkrecht auf beiden. Der Drehimpuls hat also nur eine z-Komponente. Interessiert hier aber weniger, da nur nach dem Betrag gefragt ist.
>
> Jedenfalls, wenn ich das jetzt so kreuzmultipliziere
> bekomme ich:
>
> [mm]r*cos(\varphi)*m\bruch{dr}{dt}-r*sin(\varphi)m*\bruch{dr}{dt}...und[/mm]
Auch wie Du auf dieses Ergebnis kommst ist mir schleierhaft. Schau Dir vielleicht nochmal an, wie das Kreuzprodukt definiert ist.
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren in der Ebene berechnet sich wie gewohnt wenn man die Vektoren um eine z-Komponente die =0 ist erweitert.
> wenn ich davon den Betrag bilde komme ich ja nicht auf das
> erwünschte Ergebnis für den Betrag des Drehimpulses.
>
> Wahrscheinlich liegt es an der Darstellung von r in seinen
> Komponenten.
Die steht oben.
> Wäre nett, wenn nochmal schnell jemand helfen könnte!
>
> Gruß
Gruß,
notinX
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 So 23.01.2011 | | Autor: | Theoretix |
Sorry, habe in der Hektik p und r verwechselt-ich wollte nach dem Ortsvektor von p fragen, r hattest du mir natürlich schon explizit hingeschrieben! Danke für den Hinweis, werde mal r komponentenweise ableiten und schauen was rauskommt.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 So 23.01.2011 | | Autor: | Theoretix |
Danke für die schnelle Hilfe, hat jetzt wunderbar geklappt: die sinus und cosinus terme kürzen sich beim Betrag wegen der Additionstheoreme weg und man erhält den gewünschten Term für den Betrag.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 So 23.01.2011 | | Autor: | notinX |
> Danke für die schnelle Hilfe, hat jetzt wunderbar
> geklappt: die sinus und cosinus terme kürzen sich beim
Freut mich, dass es geklappt hat.
Nur der Richtigheit halber: Kürzen bedeutet Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl dividieren. Das hast Du in diesem Fall bestimmt nicht gemacht.
Die Terme summieren sich teilweise zu null bzw. sind identisch eins wegen der Additionstheoreme.
Aber ich weiß schon was gemeint ist ;)
> Betrag wegen der Additionstheoreme weg und man erhält den
> gewünschten Term für den Betrag.
>
> Gruß
Gruß,
notinX
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[Dateianhang nicht öffentlich]
Bei einer Kreisbewegung ergibt sich der Betrag von L zu p*r=mvr. Dabei ist v = [mm] \omega [/mm] r und damit L = m [mm] \omega r^2.
[/mm]
Eine geradlinige Bewegung genau senkrecht zum Verbindungsradius r - linkes Dreieck - kann man sich für ein winziges Zeitintervall als Teil einer Kreisbewegung vorstellen. In dieser Zeit wird der Winkel [mm] \alpha [/mm] überstrichen.
Geht nun die Bewegung nicht senkrecht zu r - rechtes Bild - mit der Geschwindigkeit w, so entsteht nach einem kurzen Zeitintervall ein schiefes Dreieck. Der zu berechnende Drehimpuls wäre hier L=m*R*w (R=Abstand von der Wirkungslinie) = m*(rcos(x))*(v/cos(x))=mrv, wobei nun v diejenige Geschwindigkeit wäre, die senkrecht zu r die selbe Winkeländerung hervorrufen würde, wie sie durch w tatsächlich erzielt wird. Dieses v braucht aber gar nicht berechnet zu werden, ebenso nicht R, denn L=mrv lässt sich wieder ersetzen durch
L = m [mm] \omega r^2, [/mm] wobei das [mm] \omega [/mm] für v und w (wegen des selben Winkels [mm] \alpha) [/mm] gleich sind.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:01 So 23.01.2011 | | Autor: | Theoretix |
Super, danke dir auch für die Darstellung!
Gruß
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