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| Aufgabe | Seien [mm] V=\IR^{3}, A=\bruch{1}{9}\pmat{ -4 & 8 & 1 \\ -4 & -1 & -8 \\ 7 & 4 & -4 } [/mm] und [mm] w:V\toV [/mm] die lineare Abbildung, die durch w(v)=A*v definiert ist, wobei [mm] v=\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3}}\inV [/mm] ist. Weiterhin gilt [mm] A^{2}=\bruch{1}{9}\pmat{ -1 & -4 & -8 \\ -4 & -7 & 4 \\ -8 & 1 & -1 }.
[/mm]
a) Gehen Sie ohne Beweis davon aus, dass [mm] w\inO(v) [/mm] ist. Zeigen Sie, dass w eine lineare Drehspiegelung ist.
b) Sei [mm] \delta\inO(v) [/mm] die zu w gehörige Drehung. Bestimmen Sie jeweils eine Basis der Drehachse und der Drehebene von [mm] \delta.
[/mm]
c) Bestimmen Sie den Drehwinkel von [mm] \delta [/mm] modulo [mm] \pi. [/mm] |
Hallo,
ich habe angefangen die Aufgabe zu bearbeiten und habe bei b) Probleme. Dazu schreibe ich euch erst meine Bearbeitung auf:
a)
Da [mm] w\inO(v) [/mm] ist die Abbildung eine Isometrie.
Die Determinante ist det(A)=-1.
Im Grunde ist aber nur der Fixpunkt relevant, da die Drehachse der einzige Typ ist, den wir mit nur einem Fixpunkt F kennen. Also ist der Fixpunkt zu prüfen:
kern(9(A-E))= [mm] \pmat{ -13 & 8 & 1 \\ -4 & 10 & -8 \\ 7 & 4 & 13 } [/mm] ~> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
Also ist [mm] F=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Damit liegt eine Drehspiegelung vor.
b)
Bei einer Drehspiegelung betrachtet man ja [mm] w^{2} [/mm] wenn man die Drehachse bestimmen will. Also berechne ich deren Kern.
[mm] kern(9(A^{2}-E))= \pmat{ -10 & -4 & -8 \\ -4 & -16 & 4 \\ -8 & 1 & -10 } [/mm] ~> [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
So dann wäre die Drehachse ja auch wieder Null.
[mm] D=\{\vektor{0 \\ 0 \\ 0} + \lambda \vektor{0 \\ 0 \\ 0}|\lambda\in\IR\}
[/mm]
Aber zu bestimmen ist ja die Basis der Drehachse und der Drehebene.
Bei der Drehachse habe ich mir gedacht das die Basis senkrecht auf der Drehachse stehen müsste und auf dem Nullvektor steht ja alles senkrecht, also wäre die Basis der Drehachse zum Beispiel einfach [mm] w_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}.
[/mm]
Dann bei der Drehebene .. muss man die Basis der Drehachse dann einfach durch 2 weitere linear unabhängige Vektoren ergänzen wie zum Beispiel hier mit [mm] w_{2}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] w_{3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Fragen:
Stimmt das denn?
Und wenn ja wie berechnet man die Basen für eine Drehachse die nicht die Nullachse ist?
c)
[mm] cos(\alpha)=\bruch{1}{4}(tr(A)-1)=\bruch{1}{4}(-\bruch{1}{9}-\bruch{7}{9}-\bruch{1}{9}-\bruch{9}{9})=\bruch{1}{2}
[/mm]
=> [mm] \alpha= \bruch{\pi}{3}
[/mm]
Und stimmen die anderen Aufgaben auch?
Ich hoffe mir kann jemand helfen.
Liebe Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Mi 11.02.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Jana,
bearbeite bitte noch mal deine Frage, damit man [mm] $w\in [/mm] O(V)$ auch erkennt. Vorab: Ich habe nicht alles noch mal nachgerechnet. In dieser Hinsicht vertraue ich mal deinen Fähigkeiten. 
Zu a):
Vom Prinzip her ist deine Vorgehensweise richtig: Man bestimmt $det(w)$ und die Fixpunktmenge $Fix(w)$. Wahrscheinlich hattet ihr so etwas, wie eine Klassifikation von orthogonalen Abbildungen (oder Isometrien) im [mm] \IR^3, [/mm] s.d. man aus den zwei obigen Erkenntnissen folgern kann, dass $w$ eine Drehspiegelung ist. Ich meine mich zu erinnern, dass auch nur eine Drehspiegelung im [mm] \IR^3 [/mm] einen eindeutigen Fixpunkt hat.
Kleine Unschönheit: [mm] $w\in [/mm] O(V)$ heißt, dass $w$ eine orthogonale Abbildung ist (Isometrie sagt man im affinen Fall).
Zu b):
Man kann eine Drehspiegelung, wie der Name schon sagt, als Komposition einer Drehung [mm] \delta [/mm] und Spiegelung [mm] \sigma [/mm] darstellen. Damit kann $w$ dargestellt werden als [mm] w=\delta\circ\sigma=\sigma\circ\delta. [/mm] Es folgt:
[mm] w^2=\delta\circ\sigma\circ\sigma\circ\delta=\delta^2.
[/mm]
Die Hintereinanderausführung zweier Drehungen ist eine Drehung. [mm] \delta^2=\delta\circ\delta [/mm] ändert seine Drehachse $D$ nicht, was anschaulich ziemlich klar sein sollte. [mm] $D=Fix(\delta^2)=\{x\in\IR^3|\delta^2(x)=x\}$, [/mm] d.h. wir erhalten ein LGS:
[mm] \delta^2(x)=x\gdw (\delta^2-id_V)(x)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow Ker(\delta^2-id_V)=Ker(w^2-id_V)=Ker(A^2-E_3) [/mm] ist die gesuchte Lösungsmenge mit [mm] E_3 [/mm] Einheitsmatrix im [mm] \IR^3 [/mm] und
[mm] A^2=\frac{1}{81}\pmat{ -4 & 8 & 1 \\ -4 & -1 & -8 \\ 7 & 4 & -4 }^2= \frac{1}{81}\pmat{ -9 & -36 & -72 \\ -36 & -63 & 36 \\ -72 & 36 & -9} [/mm] = [mm] \frac{1}{9}\pmat{ -1 & -4 & -8 \\ -4 & -7 & 4 \\ -8 & 4 & -1}
[/mm]
Also ist [mm] Ker(\pmat{ -1 & -4 & -8 \\ -4 & -7 & 4 \\ -8 & 4 & -1}-9\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 })=Ker(\pmat{ -10 & -4 & -8 \\ -4 & -16 & 4 \\ -8 & 4 & -10})=Ker(\pmat{ -10 & -4 & -8 \\ -1 & -4 & 1 \\ -8 & 4 & -10})=Ker(\pmat{ 1 & 4 & -1 \\ -10 & -4 & -8 \\ -8 & 4 & -10})
[/mm]
[mm] =Ker(\pmat{ 1 & 4 & -1 \\ 0 & 36 & -18 \\ 0 & 36 & -18})=Ker(\pmat{ 1 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0})=Ker(\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0})
[/mm]
Also ist [mm] D:=\langle\vektor{1\\ -\frac{1}{2} \\-1}\rangle. [/mm] Die Basis von $D$ ist hier offensichtlich
Jetzt musst du nur noch zu [mm] \vektor{1\\ -\frac{1}{2} \\-1} [/mm] orthogonale Vektoren finden, die voneinander linear unabhängig sind.
Zu c):
Sieht korrekt aus.
LG
Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Do 12.02.2015 | | Autor: | Ladon |
Bei Aufgabenteil c) war ich wohl etwas zu voreilig. Du bestimmt hier [mm] cos(\alpha)=\frac {1}{2}(tr(\delta^2)-1). [/mm] Aber die zweifache Anwendung einer Drehung [mm] \delta [/mm] um Drehachse D mit Drehwinkel [mm] \beta [/mm] ist eine Drehung [mm] \delta^2 [/mm] um [mm] 2\beta. [/mm] Du musst also dein Ergebnis für [mm] \alpha:=2\beta [/mm] durch 2 teilen, um den gesuchten Drehwinkel zu erhalten.
LG
Ladon
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