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| Aufgabe | [mm] \pmat{ cos(a) & -sin(a) \\ sin(a) & cos(a) }\pmat{ x \\ y } [/mm] = [mm] \pmat{ a \\ b }
[/mm]
Lösen Sie dieses Gleihungssystem. |
Hallo alle zusammen,
ich habe mir sehr lange den Kopf über diese Aufgabe zerbrochen.
Damit sich das Koordinatensystem drehen kann, muss die Determinate = 1 sein. Durch das Kreuzprodukt der sin-cos-Matrize komme ich auch bei der Determinate auf 1.
Aber wie bekomme ich nun die x und y Werte für dieses Gleichungsystem heraus? Muss ich bei der sin-cos-Matrize die Inverse bilden und mit dem Vektor [mm] \pmat{ a \\ b } [/mm] dann multiplizieren? Wenn ja, wie bekommt man dann die Inverse der sin-cos-Matrize heraus?
Die Lösung lautet:
[mm] \pmat{ x \\ y } [/mm] = [mm] \pmat{ a*cos(a) + b*sin(a) \\ -a*sin(a) + b*cos(a) }
[/mm]
Helft mir bitte
Gruß kasalapihj
Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kasalapihj!
> [mm]\pmat{ cos(a) & -sin(a) \\ sin(a) & cos(a) }\pmat{ x \\ y }[/mm]
> = [mm]\pmat{ a \\ b }[/mm]
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> Lösen Sie dieses Gleihungssystem.
> Hallo alle zusammen,
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> ich habe mir sehr lange den Kopf über diese Aufgabe
> zerbrochen.
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> Damit sich das Koordinatensystem drehen kann, muss die
> Determinate = 1 sein. Durch das Kreuzprodukt der
> sin-cos-Matrize komme ich auch bei der Determinate auf 1.
>
> Aber wie bekomme ich nun die x und y Werte für dieses
> Gleichungsystem heraus? Muss ich bei der sin-cos-Matrize
> die Inverse bilden und mit dem Vektor [mm]\pmat{ a \\ b }[/mm] dann
> multiplizieren? Wenn ja, wie bekommt man dann die Inverse
> der sin-cos-Matrize heraus?
>
> Die Lösung lautet:
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> [mm]\pmat{ x \\ y }[/mm] = [mm]\pmat{ a*cos(a) + b*sin(a) \\ -a*sin(a) + b*cos(a) }[/mm]
Im Prinzip löst du dieses Gleichungssystem genau wie jedes andere. Z. B. mit dem Gaußalgorithmus oder du multiplizierst mit der Inversen. Die bekommst du auch raus wie bei jeder anderen Matrix - z. B. mit dem Gauß oder du stellst ein allgemeines LGS [mm] \pmat{r&s\\t&u}*\pmat{ cos(a) & -sin(a) \\ sin(a) & cos(a)}=\pmat{1&0\\0&1} [/mm] auf.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo!
Das mit der Inversen Matrix geht hier viel schneller.
Die Matrix dreht also im Urzeigersinn um den Winkel [mm] \alpha. [/mm] Die Umkehrfunktion wäre dann doch einfach, GEGEN den Urzeigersinn um den Winkel [mm] \alpha [/mm] zurückzudrehen.
Also, die Umkehrmatrix bekommst du, indem du [mm] \alpha [/mm] gegen [mm] -\alpha [/mm] tauschst.
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