Drehung im R2 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] L=L_{2}\circ L_{1} [/mm] die verknüpfung von zwei Abbildungen im [mm] \IR^2
[/mm]
[mm] L_{1}: [/mm] die Spiegelung an der geraden g: y=x und
[mm] L_{2}: [/mm] Drehung um den Nullpunkt um den Winkel [mm] \bruch{\pi}{4}
[/mm]
a) Bestimmen sie die Matrix [mm] A^B_{1} [/mm] der Abbildung [mm] L_{1} [/mm] in der Basis [mm] =((\bruch{\wurzel{2}}{2},\bruch{\wurzel{2}}{2})(\bruch{\wurzel{2}}{2},\bruch{-\wurzel{2}}{2})). [/mm] |
Meine Frage ist nun was ist Matrix [mm] A^B? [/mm] Wie kommt man auf diese MAtrix. In der Lösung die ich vor mir habe Wird einfach
[mm] L_{1}(b1)=b1 =\vektor{\bruch{\wurzel{2}}{2} \\ \bruch{\wurzel{2}}{2}}_{E} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0}_{B}
[/mm]
angeben, doch wie komm ich darauf?
danke und gruß
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Identifizieren wir Punkte und Ortsvektoren, so wird
[mm]e_1 = \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}} \\ \sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix}[/mm]
bei der Spiegelung auf sich selbst abgebildet; denn [mm]e_1[/mm] liegt ja auf der Geraden [mm]y=x[/mm].
[mm]e_2 = \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{2}} \\ - \sqrt{\frac{1}{2}} \end{pmatrix}[/mm]
steht senkrecht auf [mm]e_1[/mm] (Skalarprodukt bilden!) und wird beim Spiegeln folglich auf [mm]-e_2[/mm] abgebildet (mach dir eine Skizze). Halten wir fest:
[mm]e_1 \mapsto e_1[/mm]
[mm]e_2 \mapsto -e_2[/mm]
Und jetzt mußt du die Bilder von [mm]e_1,e_2[/mm] als Linearkombinationen bezüglich der Basis [mm]e_1,e_2[/mm] schreiben. Das ist hier aber primitiv:
[mm]e_1 = 1 \cdot e_1 + 0 \cdot e_2[/mm]
[mm]-e_2 = 0 \cdot e_1 - 1 \cdot e_2[/mm]
Also ist
[mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
die zu [mm]L_1[/mm] gehörige Matrix.
Stets gilt: In der ersten, zweiten, dritten usw. Spalte der Matrix stehen die Bilder des ersten, zweiten, dritten usw. Basisvektors, genauer: die Koeffizienten von deren Linearkombinationen bezüglich der vorgegebenen Basis.
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