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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 Fr 27.05.2011 | | Autor: | frato |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Abbildung [mm] \partial [/mm] : [mm] \IR^{3} [/mm] --> [mm] \IR^{3}, \vektor{x \\ y \\ z} \mapsto \vektor{y+1 \\ x \\ 1-z}. [/mm] Zerlegen Sie [mm] \partial [/mm] in eine Drehung [mm] \delta [/mm] und eine Translation r so, dass [mm] \partial [/mm] = [mm] r\circ \delta. [/mm] Bestimmen Sie die Achse der Drehung und den Kosinus des Drehwinkels. |
Hallo erstmal :),
Ich stehen mal wieder komplett aufm Schlauch. Die Lösung der ersten Teilaufgabe lautet
[mm] \partial \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = [mm] \vektor{y+1 \\ x \\ 1-z} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 } \vektor{x \\ y \\ z} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] r(\delta \vektor{x \\ y \\ z}).
[/mm]
Meine Frage wäre: Wie kommt man darauf? Klar im nachhinein sehe ich jetzt auch dass das so sein muss, aber kann man das nur durch "mehr oder weniger" scharfes hinsehen lösen oder...
Die Berechnung des zweiten Teils, also Drehachse und Drehwinkel ist mir klar. Mir gehts eigentlich nur um die Bestimmung der Drehmatrix und des Verschiebungsvektors.
Vielen Dank schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo frato,
> Ich stehen mal wieder komplett aufm Schlauch. Die Lösung
> der ersten Teilaufgabe lautet
> [mm]\partial \vektor{x \\
y \\
z}[/mm] = [mm]\vektor{y+1 \\
x \\
1-z}[/mm] =
> [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 } \vektor{x \\
y \\
z}[/mm]
> + [mm]\vektor{1 \\
0 \\
1}[/mm] = [mm]r(\delta \vektor{x \\
y \\
z}).[/mm]
>
> Meine Frage wäre: Wie kommt man darauf? Klar im nachhinein
> sehe ich jetzt auch dass das so sein muss, aber kann man
> das nur durch "mehr oder weniger" scharfes hinsehen lösen
> oder...
Sooo scharf brauchst du da gar nicht hinschauen.
Zunächst kannst du den Vektor [mm]\vektor{y+1\\
x\\
1-z}[/mm] umformen zu [mm]\vektor{y\\
x\\
-z}+\vektor{1\\
0\\
1}[/mm]. Die Translation ist also [mm]r\vektor{x\\
y\\
z}=\vektor{x\\
y\\
z}+\vektor{1\\
0\\
1}[/mm]. Die Drehmatrix bekommst du tatsächlich durch scharfes hinschauen: Finde eine Matrix [mm]D[/mm], die die Komponenten derart vertauscht, dass gilt [mm]A\vektor{x\\
y\\
z}\mapsto\vektor{y\\
x\\
-z}[/mm]. D.h. x und y vertauschen und z wechselt das Vorzeichen. Dieser Fall ist recht einfach, weil die Matrix die Komponenten komplett vertauscht. Du findest [mm]A=\pmat{0&\red{1}&0\\
\red{1}&0&0\\
0&0&\green{-1}}[/mm]. Dabei stehen die roten 1er für das Vertauschen von x und y und die grüne -1 für den Vorzeichenwechsel von z.
> Die Berechnung des zweiten Teils, also Drehachse und
> Drehwinkel ist mir klar. Mir gehts eigentlich nur um die
> Bestimmung der Drehmatrix und des Verschiebungsvektors.
> Vielen Dank schon mal!
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Sa 28.05.2011 | | Autor: | frato |
Vielen Dank! Das hat mir schon mal sehr weitergeholfen. Allerdings ist dieser Fall, wie du ja sagst, nicht recht komplex. Aber wie sieht es bei schwierigeren Aufgaben aus? Gibt es da ein "Kochrezept" oder funktioniert es immer auf diese Weise?
Außerdem glaube ich noch ein "Verständnisproblem" in Bezug auf Drehungen zu haben. Meine Unterlagen geben mir da leider keine Antwort darauf.
Beispielsweise hackt es bei folgender Aufgabe:
Im [mm] \IR^{2} [/mm] beschreibe man eine Drehung um 30° durch eine Matrix A.
Die Lösung sagt: Ist [mm] \partial [/mm] : [mm] \IR^{2} [/mm] --> [mm] \IR^{2} [/mm] eine Drehung um den Winkel [mm] \delta [/mm] (im mathematisch positiven Sinn), so ist
[mm] \partial(E_{1})=\vektor{cos\delta \\ sin\delta}, \partial(E_{2})=\vektor{-sin\delta \\ cos\delta} [/mm] und somit [mm] A=\pmat{ cos\delta & -sin\delta \\ sin\delta & cos\delta }. [/mm] Jetzt noch 30° für [mm] \delta [/mm] einsetzen und es folgt die Drehmatrix.
Wie komme ich denn auf diese Einträge (also [mm] \partial(E_{1})=\vektor{cos\delta \\ sin\delta} [/mm] und [mm] \partial(E_{2})=\vektor{-sin\delta \\ cos\delta}) [/mm] ? Und woher weiß ich, dass es eine Linksdrehung und keine Rechtsdrehung ist?
Tut mir leid wegen dieser ganzen Fragen, aber ich wills wirklich kapieren :)...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Sa 28.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
nun, ein "Kochrezept" kenn ich nicht. Aber wenn du schon weißt, dass es sich um eine Drehung handelt, kannst du die Matrix ja relativ leicht auf eine Form [mm]\pmat{\cos(\delta)&-\sin(\delta)\\
\sin(\delta)&\cos(\delta)\[/mm] bringen und so den Drehwinkel bekommen.
Andererseits, wenn du eine Matrix hast und willst prüfen, ob es sich um eine Drehung handelt, musst du sie auf ![[]](/images/popup.gif) Orthogonalität prüfen.
Zur Herleitung der Drehmatrix: du willst einen Vektor [mm]\vektor{x\\
y}[/mm] um den Winkel [mm]\delta[/mm] (gegen den UZS) drehen. Betrachte dazu die Basisvektoren [mm]\vektor{1\\
0}[/mm] und [mm]\vektor{0\\
1}[/mm] und drehe diese um [mm]\delta[/mm]. Mach dir dazu eine Skizze und versuche die Koordinaten der gedrehten Vektoren durch den Winkel [mm]\delta[/mm] darzustellen.
(Anschließend kannst du dir genauso überlegen, wie die Matrix aussieht, wenn du um [mm]\delta[/mm] im UZS drehst.)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 30.05.2011 | | Autor: | frato |
Hey Fulla,
ich habe das ganze jetzt nochmal durchgedacht und ich denke es verstanden zu haben.
Zum Test habe ich jetzt mal die Matrix aufgestellt, wenn man um [mm] \delta [/mm] im Uhrzeigersinn dreht. Ich hoffe das stimmt so :)...
Die Matrix hat dann die Form [mm] \pmat{ cos(\delta) & sin(\delta) \\ -sin(\delta) & cos(\delta) }.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:34 Mo 30.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo frato,
ja, die Matrix stimmt so.
Das kannst du überprüfen, wenn du z.B. die "normale" Drehmatrix betrachtest und [mm]-\delta[/mm] als Drehwinkel nimmst. Es gilt nämlich [mm]\cos(-\delta)=\cos(\delta)[/mm] und [mm]\sin(-\delta)=-\sin(\delta)[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Di 31.05.2011 | | Autor: | frato |
Danke Fulla ;)! Das hat mir sehr weitergeholfen!
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