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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mo 17.03.2008 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | In dieser Aufgabe betrachten wir Isometrien der euklidischen Ebenen R2 .
(a) Es sei [mm] \phi_\theta [/mm] die Drehung um den Winkel [mm] \theta [/mm] um den Punkt (1, 1). Dann ist [mm] \phi_\theta(X [/mm] ) = [mm] D-\theta [/mm] X + [mm] b_\theta [/mm] f ür einen geeigneten Translationsvektor [mm] b_\theta [/mm] . Bestimme [mm] b_\theta [/mm] in Abhänigkeit
von [mm] \theta. [/mm]
(b) Wir verwenden die Drehung [mm] \phi_\theta [/mm] aus Teil (a) und bezeichnen mit [mm] d_\gamma [/mm] die Drehung um
den Winkel [mm] \gamma [/mm] um den Nullpunkt. Beschreibe die Kompositionen [mm] d_\gamma \circ \phi_\theta [/mm] und [mm] \phi_\theta \circ d_\gamma [/mm] :
Drehwinkel, Darstellung in der Form AX + b, Drehpunkt? |
Hallo,
leider habe ich mit meinem Aktuellen AUfgabenblatt so meine Probleme, daher muss ich wohl des öfteren hier Fragen.
Nun zur Aufgabe.
a) habe ich noch hinbekommen.
Ergebnis: [mm] b_\theta= \pmat{ 1-cos(\theta)+ sin(\theta) \\ -sin(\theta)+1-cos(\theta) }
[/mm]
bei Aufgabe b) fehlt mir jedoch jeder Ansatz. Das mag wohl auch am komischen Satzbau der Aufgabenstellung liegen. Was soll man hier machen? Drehwinkel ausrechnen? Falls ja, wie? Habe mich hier schon versucht, leider waren [mm] \theta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] immer in zwei verschiedenen trigonometrischen Funktionen vertreten, sodass man beispielsweise nicht sagen konnte: Drehwinkel = [mm] x*\theta±y*\gamma [/mm] (also den Drehwinkel im Abhänigkeitvon [mm] \theta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] darszustellen)
Ich hoffe Ihr könnt mir auf die Sprünge helfen.
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Fr 21.03.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo Rutzel,
du machst es dir nur unnötig schwer, wenn du auf Matrizenebene heruntergehst und dort rechnest. Belass es besser bei der symbolischen Darstellung einer Drehmatrix um den Ursprung durch [mm] $D_\phi$.
[/mm]
Eine Drehung um den Punkt P(1 | 1) ist dann gegeben durch die Zuordnung
$ [mm] \vec{x} \to D_\phi [/mm] * [mm] \left(\vec{x} - \vektor{1 \\ 1}\right) [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 1}$
[/mm]
Führt man danach noch eine Drehung um den Ursprung mit Winkel [mm] $\gamma$ [/mm] durch, dann ergibt sich die Zuordnung
$ [mm] \vec{x} \to D_\gamma [/mm] * [mm] D_\phi [/mm] * [mm] \left(\vec{x} - \vektor{1 \\ 1}\right) [/mm] + [mm] D_\gamma [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ 1}$
[/mm]
oder
$ [mm] \vec{x} \to D_{\phi+\gamma} \vec{x} [/mm] + [mm] D_\gamma \vektor{1 \\ 1} [/mm] - [mm] D_{\phi+\gamma} \vektor{1 \\ 1}$
[/mm]
Der erforderliche Verschiebungsvektor [mm] $\vec{b}$ [/mm] für eine Drehung mit Winkel [mm] $\phi [/mm] + [mm] \gamma$ [/mm] um den Punkt [mm] $\vec{z}$ [/mm] (wir identifizieren hier Punkte mit ihren Ortsvektoren) lautet
[mm] $\vec{b} [/mm] = (I - [mm] D_{\phi+\gamma}) \vec{z}$
[/mm]
Um das Drehzentrum der resultierenden Drehung zu bekommen hast du jetzt also nur noch die Gleichung
[mm] $D_\gamma \vektor{1 \\ 1} [/mm] - [mm] D_{\phi+\gamma} \vektor{1 \\ 1} [/mm] = (I - [mm] D_{\phi+\gamma}) \vec{z}$
[/mm]
nach [mm] $\vec{z}$ [/mm] aufzulösen. Das geht durch Multiplikation von links mit der Inversen der Matrix vor [mm] $\vec{z}$.
[/mm]
LG
Will
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