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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Do 27.10.2005 | | Autor: | Commotus |
1.) Divergiert diese Folge?
1, 1/2, 1, 1/3, 1, 1/4, 1, 1/5 ....
Die Häufungspunkte sind 1 und 0 -> Die Folge divergiert
2.) Divergiert diese Folge?
[mm] (a_n) [/mm] = 3 * [mm] (-1)^n [/mm] - 1/n
Die Häufungspunkte sind -3 und 3. Die Folge divergiert
Stimmt dies?
Wie beweise ich für eien Folge [mm] (a_n)=1/(4n-2) [/mm] , dass sie konvergiert. Gibt es da ein konkretes Schema?
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Hallo Commutus!
> 1.) Divergiert diese Folge?
> 1, 1/2, 1, 1/3, 1, 1/4, 1, 1/5 ....
> Die Häufungspunkte sind 1 und 0 -> Die Folge divergiert
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> 2.) Divergiert diese Folge?
> [mm](a_n)[/mm] = 3 * [mm](-1)^n[/mm] - 1/n
> Die Häufungspunkte sind -3 und 3. Die Folge divergiert
> Wie beweise ich für eine Folge [mm](a_n)=1/(4n-2)[/mm] , dass sie
> konvergiert. Gibt es da ein konkretes Schema?
Da gibt es zwei Wege ... ich weiß nun nicht, welchen Ihr einschlagen sollt.
a.) Grenzwertsätze:
Dann einfach mal in Nenner und Zähler die höchste Potenz von $n_$ (hier: $n \ = \ [mm] n^1$) [/mm] ausklammern und kürzen. Dann die Grenzwerte der bekannten Folgen einsetzen.
b.) [mm] $\varepsilon$-Kriterium.
[/mm]
Sei $a_$ der (vermutete) Grenzwert der Folge. Dann muss ja gelten:
[mm] $\left| \ a_n - a \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{1}{4n-2} - a \ \right| [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm] für $n \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] N_0$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Do 27.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Gibt es eine anschauliche Erklärung dieses [mm] \varepsilon [/mm] - Kriteriums?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Do 27.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Schließen Sie durch explizites Ausrechnen von Folgegliedern auf den Grenz der angegebenen Folgen und bewisen Sie Ihre Vermutung durch Anwendung der Definition für Konvergenz:
[mm] (a_n) [/mm] = n / (n+1)
Was genau muss ich hinterher beweisen? Wann ist der Beweis, dass die Folge konvergiert, erbracht? Etwa dann, wenn ich ein [mm] N(\varepsilon) [/mm] bestimmen kann? Könnte mir wohl jemand eine ausführliche Musterlösung anfertigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Do 27.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Es sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] beliebig vorgegeben. Dann gilt für alle $n [mm] \ge N_0(\varepsilon):= \left[ \frac{1}{\varepsilon} \right]+1 [/mm] > [mm] \frac{1}{\varepsilon}$ [/mm] (hierbei ist $[]$ die Gaußklammer):
[mm] $\left| \frac{n}{n+1} -1 \right| [/mm] = [mm] \left| \frac{1}{n+1} \right| [/mm] < [mm] \frac{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon$,
[/mm]
was zu zeigen war.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Do 27.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Es ist doch aber genauso legitim so zu argumentieren:
[mm] \left| n/(n+1) -1 \right| [/mm] = 1/(n+1) < [mm] \varepsilon
[/mm]
oder: n > [mm] 1/\varepsilon [/mm] - 1
Man wähle: [mm] N(\varepsilon) [/mm] > [mm] 1/\varepsilon [/mm] - 1
=> [mm] \left| n/(n+1) -1 \right| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \le N(\varepsilon)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 27.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, das wäre auch richtig.
Liebe Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Do 27.10.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Commotus
Wenn du dir einen Häufungspkt.Hp anschaulich vorstellen kannst, dann ja. Bei Hp hat man in einer beliebig kleinen Umgebung [mm] (\varepsilon [/mm] -Umgebung) unndlich bzw. beliebig viele Punkte. Konvergenz stellst du dir auf der Zahlengerade vor: Man gibt eine beliebig kleine Umgebung des vermuteten Grenzwertes vor. Auf der Zahlengerade also irgendein Intervall um den Gw. Dann muss man eine Zahl [mm] N_{0} [/mm] angeben können, ab der ALLE Folgenglieder für ein [mm] n>N_{0} [/mm] in diesem Intervall liegen.
Bsp: [mm] an=1+(-1)^{n}1/n [/mm] vermuteter Grenzwert 1, ich Zeige, dass alle an für [mm] n>N_{0} [/mm] mit [mm] N_{0}=[1/\varepsilon] [/mm] in einem Intervall, [mm] (1-\varepsilon,1+\varepsilon) [/mm] liegen.
Wie zeigst du denn Hp? der Konvergenzbeweis läuft ähnlich. Später zeigt man dass eine beschränkte Folge, die nur einen Hp hat konvergiert.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Do 27.10.2005 | | Autor: | Commotus |
Könntest du mir bitte ein Beispiel ausführlich vorrechnen, damit ich weiß, wie genau ich den Beweis zu notieren habe?
[mm] (a_n) [/mm] = n / (n+1)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Do 27.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Habe ich gerade gemacht...
Liebe Grüße
Stefan
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