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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:19 Sa 02.04.2005 | | Autor: | hedli |
Gegeben ist ein beliebiges Dreieck ABC in das drei Kreise eigefügt werden sollen, die je zwei Seiten des Dreiecks und die zwei anderen Kreise berühren müssen.
Am liebsten wäre es mir, wenn ich einen kleinen Konstruktionsbericht bekommen könnte. Noch besser mit Zeichnung.
Vielen Dank schon im Voraus für die Antwort.
Gruß
Hedli
(An der Aufgabe sind schon einige Professoren gescheitert).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Fr 29.04.2005 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Leute, hallo Hedli,
die Aufgabe ist tatsächlich nicht so einfach, wie man zunächst denkt.
Leider habe ich keinen Scanner und kann deswegen keine Graphiken bereitstellen, ich versuche, genau zu erklären, was ich meine (davon abgesehen, dass ich nicht weiss, ob es richtig ist ^^; ).
Es gibt 4 verschiedene Fälle, die möglicherweise alle noch Unterfälle:
1. Es gilt $C [mm] \in \overline{AB}$ [/mm] für eine der Dreiecksecken in ABC, das Dreieck ist also ausgeartet.
In diesem Fall gilt für den Mittelpunkt jedes Kreises [mm] $m_i [/mm] = C$ und für den Radius jedes Kreises [mm] $r_i [/mm] = 0$, dann berühren sich die Kreise jeweils in einem Punkt (dem Mittelpunkt) und ein Kreis berührt mindestens zwei Seiten (eigentlich alle drei).
2. Sei ABC ein gleichseitiges Dreieck mit positiver Seitenlänge.
Dieser Fall ist Spezialfall des nächsten Falls:
3. Sei ABC ein gleichschenkliges Dreieck, d.h. zwei Seiten sind gleich lang.
Dann drehe und verschiebe das Dreieck so, dass die Basis des Dreieck (die dritte Seite) auf der x-Achse und der verbliebene Punkt im ersten Quadranten liegen.
Bezeichne dann das Dreieck neu: A=(0,0), [mm] B=($x_B$,0), C=($x_C$,$y_C$) [/mm] mit [mm] $x_B$, $x_C$, $y_C$ [/mm] positiv.
Diese Rotation und Translation auszuführen sei jedem selbst überlassen, jetzt kommt der unschöne Teil:
Bestimme die Funktion der Winkelhalbierenden, die durch den Punkt A führt.
Dazu:
[mm] $\alpha [/mm] = [mm] \tan^{-1}\left(\bruch{y_C-0}{x_C-0}\right)$ [/mm]
ist der Winkel, den die Seite [mm] $\overline{AC}$ [/mm] mit der x-Achse einschließt.
Für die Winkelhalbierende gilt dann natürlich gerade mit einem
[mm] T=($x_T$,$y_T$):
[/mm]
[mm] $\bruch{\alpha}{2} [/mm] = [mm] \tan^{-1}\left(\bruch{y_T}{x_T}\right)$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] (Einsetzen von [mm] $\alpha$, $x_T [/mm] = t$ als Parameter)
[mm] $\tan\left(\bruch{y_T}{t}\right) [/mm] = [mm] \bruch{y_T}{t} \Rightarrow y_T [/mm] = [mm] t*\tan\left(\bruch{\tan^{-1}\left(\bruch{y_C}{x_C}\right)}{2}\right)$
[/mm]
Da Symmetrie vorliegt, muss der Kreis, der seinen Mittelpunkt auf der eben berechneten Winkelhalbierenden hat, nicht nur die Seiten [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{AC} [/mm] berühren, sondern auch die Winkel- und Seitenhalbierende durch den Punkt C, die auf Höhe [mm] $\bruch{x_B}{2}$ [/mm] liegt.
Die Seiten berühren bedeutet bei Kreisen insbesondere, dass sie von all diesen Punkten denselben Abstand haben. Es gilt:
[mm] $y_T [/mm] = [mm] \bruch{x_B}{2} [/mm] - t = [mm] t*\tan\left(\bruch{\tan^{-1}\left(\bruch{y_C}{x_C}\right)}{2}\right)$
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
$t [mm] \equiv \bruch{x_B}{2*\left(1+\tan\left(\bruch{\tan^{-1}\left(\bruch{y_C}{x_C}\right)}{2}\right)\right)}$ [/mm]
Wir haben jetzt also einen Punkt [mm] T=($t$,$y_T$) [/mm] gefunden, der die Mittelsenkrechte auf [mm] \overline{AB}, \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{AC} [/mm] berührt.
Jetzt muss ein Punkt auf jener Mittelsenkrechten gefunden werden, der denselben Abstand vom erstellten Kreis und von der Seite [mm] \overline{AC} [/mm] hat.
Dies erfolgt über eine Funktion, die einen Punkt auf der Mittelsenkrechten in Abhängigkeit von einem Winkel [mm] \phi [/mm] zwischen der Achsenparallelen zur x-Achse durch den Punkt T und einer weiteren Gerade durch den Punkt T, die die Mittelsenkrechte schneidet, abhängt.
Sei [mm] $h_C(\phi)$ [/mm] die Funktion, die die Höhe auf der Mittelsenkrechten angibt, dann gilt:
[mm] $h_C(\phi) [/mm] = [mm] \bruch{x_B}{2} [/mm] - t + [mm] (\bruch{x_B}{2} [/mm] - [mm] t)*\tan\phi$
[/mm]
Der Abstand zwischen T und S = [mm] ($\bruch{x_B}{2}$,$h_C(\phi)$)^berechnet [/mm] sich dann nach Pythagoras zu [mm] $d(T,S)(\phi) [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{x_B}{2}-t}{\cos\phi}$
[/mm]
Nun berechnen wir noch eine Gerade, die für den Abstand zwischen [mm] \overline{AC} [/mm] und S in Abhängigkeit von [mm] \phi [/mm] zuständig sein wird.
Die Gerade hat als Steigung natürlich das Inverse der Steigung vom Winkel zwischen [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{AC} [/mm] und als Punkt S, also gilt wegen der Punkt-Steigungsform für Geraden:
[mm] $h_C(\phi) [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\tan^{-1}\left(\bruch{y_C}{x_C}\right)}*\bruch{x_B}{2} [/mm] + b$
[mm] \Rightarrow
[/mm]
$b = [mm] h_C(\phi) [/mm] + [mm] \bruch{1}{\tan^{1}\left(\bruch{y_C}{x_C}\right)}*\bruch{x_B}{2}$
[/mm]
Die Gerade lautet dann:
[mm] $f_1(x,\phi) [/mm] = [mm] \bruch{-1}{\tan^{-1}\left(\bruch{y_C}{x_C}\right)}*\bruch{x_B}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{\tan^{-1}\left(\bruch{y_C}{x_C}\right)}*\bruch{x_B}{2}$
[/mm]
Schneidet man diese Gerade mit [mm] $f_2(x) [/mm] = [mm] \bruch{y_C}{x_C}*x$, [/mm] also mit der Dreiecksseite [mm] \overline{AC}, [/mm] so ergibt sich für den Aufpunkt an [mm] \overline{AC} [/mm] :
$x = [mm] \bruch{\left(\bruch{x_B}{2}-t\right)*(1+\tan\phi) + \bruch{x_B}{2*\tan^{-1}\left(\bruch{y_C}{x_C}\right)}}{\left(\bruch{y_C}{x_C}+ \bruch{1}{\tan^{-1}\left(\bruch{y_C}{x_C}\right)}\right)}$
[/mm]
Dann ist zur Bestimmung des [mm] \phi [/mm] zu lösen:
[mm] $\bruch{h_C(\phi)-\bruch{y_C}{x_C}*x}{\bruch{x_B}{2}-x} [/mm] = [mm] d(S,T)(\phi) [/mm] - [mm] \bruch{x_B}{2}$
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (mit $v [mm] \equiv \tan^{-1}\left(\bruch{y_C}{x_C}\right)$)
[/mm]
[mm] $\phi [/mm] = [mm] \arccos \left( \bruch{x_B*\tan\left(\bruch{v}{2}\right)*v}{-2-2*\tan\left(\bruch{v}{2}\right)+x_B*v + x_B*\tan\left(\bruch{v}{2}\right)*v}\right)$
[/mm]
Dann ergeben sich die Mittelpunkte der Kreise zu:
[mm] T=($t$,$t*\tan\bruch{v}{2}$), S=($\bruch{x_B}{2}$,$h_C(\phi)$), K=($x_B-t$,$t*\tan\bruch{v}{2}$)
[/mm]
Die Radien sind [mm] $r_T [/mm] = [mm] t*\tan\bruch{v}{2}$, $r_S [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{x_B}{2}-t}{\cos\phi} [/mm] - [mm] \bruch{x_B}{2}$ [/mm] und [mm] $r_K [/mm] = [mm] t*\tan\bruch{v}{2}$
[/mm]
4. Den vierten Fall konnte ich noch nicht bearbeiten, als Ansatz sei jedoch gesagt, dass alle Kreismittelpunkte auf den entsprechenden Winkelhalbierenden liegen müssen und die Abstände der Mittelpunkte voneinander jeweils die Summe der Abstände des einen Mittelpunktes zur einen Seite und des anderen Mittelpunktes zur anderen Seite ist.
Damit sollten sich alle Koordinaten berechnen lassen, die genaue Ausführung ist mir aber noch nicht bekannt.
greetz
AT-Colt
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