Dreieck < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 So 17.04.2011 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Gegeben sei das Dreieck [mm] \Delta [/mm] ABC mit den Eckpunkten
[mm] A=\vektor{ 1\\ 0\\1} B=\vektor{0 \\ 1\\1} C=\vektor{-1 \\ 0\\1}
[/mm]
Dieses Dreieck wird durch Rotation in das Dreieck [mm] \Delta [/mm] A'B'C' überführt.
Geben Sie die Koordinaten des Dreiecks an, nachdem [mm] \Delta [/mm] ABC um 90° um die x-Achse, um 90° um
die y-Achse und danach um 60° um die z-Achse gedreht wurde.
(Die Drehungen werden hintereinander ausgeführt, d.h. geben Sie nur einmal Koordinaten
für [mm] \Delta [/mm] A'B'C' an.) |
Also ich hab es mit bildlichen Vorstellen versucht.
Nachdem ich um die x-Achse drehe komme ich auf die Koordinaten
[mm] A=\vektor{ 1\\ 1\\0} B=\vektor{0 \\ 1\\-1} C=\vektor{-1 \\ 1\\0}
[/mm]
Dann dreh ich um die y-Achse und komme auf
[mm] A=\vektor{ 0\\ 0\\0} B=\vektor{0 \\ 1\\-1} C=\vektor{0\\ 2\\0}
[/mm]
jetzt sich eine drehung vo 60° um die z-achse vorzustellen ist etwas schwerer.
Aber da musst es doch eine andere möglichkeit geben um die aufgabe zu lösen oder ?
Ich hab erst gedacht ob ich aus dem dreieck nicht eine ebene machen soll aber da kam ich auch nicht weiter.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 So 17.04.2011 | | Autor: | Ayame |
aaaaaaah natürlich.
Drehmatrizen !
OK ich hab grad gerechnet und komm auf
[mm] A'=\vektor{sin(60) \\ -0,5\\-1}
[/mm]
[mm] B'=\vektor{0,5+sin(60) \\ sin(60)-0,5\\0}
[/mm]
[mm] C'=\vektor{sin(60) \\ -0,5\\1}
[/mm]
ich hab sin(60) so geschrieben weil es ausgerechnet eine irrationale zahl ist und die 0,5 entstehen da cos(60)=0,5.
Ein Kurzes "ist richtig" wäre echt super.
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noch kürzer: ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
LG
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> Gegeben sei das Dreieck [mm]\Delta[/mm] ABC mit den Eckpunkten
>
> [mm]A=\vektor{ 1\\ 0\\1}\quad B=\vektor{0 \\ 1\\1}\quad C=\vektor{-1 \\ 0\\1}[/mm]
>
> Dieses Dreieck wird durch Rotation in das Dreieck [mm]\Delta[/mm]
> A'B'C' überführt.
>
> Geben Sie die Koordinaten des Dreiecks an, nachdem [mm]\Delta[/mm]
> ABC um 90° um die x-Achse, um 90° um
> die y-Achse und danach um 60° um die z-Achse gedreht
> wurde.
>
> (Die Drehungen werden hintereinander ausgeführt, d.h.
> geben Sie nur einmal Koordinaten
> für [mm]\Delta[/mm] A'B'C' an.)
> Also ich hab es mit bildlichen Vorstellen versucht.
> Nachdem ich um die x-Achse drehe komme ich auf die
> Koordinaten
>
> [mm]A=\vektor{ 1\\ 1\\0}\quad B=\vektor{0 \\ 1\\-1}\quad C=\vektor{-1 \\ 1\\0}[/mm]
Ich erhalte die Punkte
[mm]A_1=\vektor{ 1\\ -1\\0}\quad B_1=\vektor{0 \\ -1\\1}\quad C_1=\vektor{-1 \\ -1\\0}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du musst auf den richtigen (positiven) Drehsinn achten !
> Dann dreh ich um die y-Achse und komme auf
>
> [mm]A=\vektor{ 0\\ 0\\0}\quad B=\vektor{0 \\ 1\\-1}\quad C=\vektor{0\\ 2\\0}[/mm]
Da sieht man schon ohne Rechnung, dass dies nicht
stimmen kann ...
> jetzt sich eine drehung vo 60° um die z-achse vorzustellen
> ist etwas schwerer.
Da treten sin und cos des Drehwinkels auf. Die resultierenden
Formeln lassen sich dann natürlich auch für den Fall eines
Drehwinkels von 90° (oder -90°) anwenden.
> Aber da musst es doch eine andere möglichkeit geben um die
> aufgabe zu lösen oder ?
Ich denke, dass die Drehungen durch Matrizen dargestellt
werden sollen. Die Spaltenvektoren der Matrix einer linearen
Abbildung (dazu gehören auch Drehungen) erhält man, indem
man die Grundvektoren [mm] \vec{e}_1=\pmat{1\\0\\0},\quad \vec{e}_2=\pmat{0\\1\\0},\quad \vec{e}_3=\pmat{0\\0\\1}
[/mm]
der Abbildung unterwirft.
> Ich hab erst gedacht ob ich aus dem dreieck nicht eine
> ebene machen soll aber da kam ich auch nicht weiter.
Die Ebenengleichung aufzustellen bringt für diese Drehungs-
Aufgabe wirklich nichts.
LG Al-Chwarizmi
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