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Forum "Längen, Abstände, Winkel" - Dreieck 3D
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Dreieck 3D: Schwerpunkt,Fläche und Winkel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:31 Sa 24.11.2007
Autor: Core2

Aufgabe
Bestimmen Sie für das Dreieck mit den Eckpunkten A ( 0, 0, 0 ), B ( 1, 6, 1), C ( 2, 3, 2)  

a)   die Koordinaten des Schwerpunkts,
b)   den Flächeninhalt,
c)   den Winkel  alpha .


also ich hab die aufgabe bissher so gelöst
vektor(a) = C-B = (2,3,2)-(1,6,1)=(1,-3,1)
vektor(b) = A-C = (0,0,0)-(2,3,2)=(-2,-3,-2)
vektor(c) = B-A = (1,6,1)-(0,0,0)=(1,6,1)

danach hab ich versucht schwerpunkt zu bestimmen und weil schwerpuntk ene verhältnis von 2:1 hat hab ich folgendes gemacht
1/2 vektor(c) + 1/2 vektor(a) =(1,   1, 5 , 1)
ist das soweit richtig ? Wenn nicht was hab ich denn falsch gemacht?
Wie kann ich Flächeninhalt und winkel ausrechnen?

Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Dreieck 3D: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Sa 24.11.2007
Autor: leduart

Hallo Core

          [willkommenmr]

1. Zeichne doch mal ein Dreieck auf, und dann dein 1/2 vektor(c) + 1/2 vektor(a)!
du solltest sehen, dass du nicht im Schwerpunkt ankommst.
Schwerpunkt findest du mir (A+B*C)/3 du suchst ja die Koordinaten.
anderer Weg: zu C  2/3 es Vektors von C zur Mitte von AB addieren.
2. Fläche: kennst du das Vektorprodukt? das Produkt [mm] c\times [/mm] b etwa gibt den doppelten Flächeninhalt.
3. Winkel durch das Skalarprodukt  [mm] \vec{AB}*\vec{AC}/(|\vec{AB}|*|\vec{AC}|)=cos\alpha [/mm]
Gruss leduart

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Dreieck 3D: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:20 Sa 24.11.2007
Autor: Core2

ich hab versucht das ganze zu zeichnen
mit was ich vorhin gesagt habe komm ich so ungefähr im S an

das Problem ist ich hab jetzt nicht genau verstanden ob Sie mit ABC meine Punkte oder meine vektoren beobachten !!
Warum sollte man durch (A+B*C)/3 auf S kommen ??

und Winkel genau so mit punkten rechnen oder mit vektoren die ich vorhin ausgrechnet habe !! sind die übehaupt richtig?

vielen danke


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Bezug
Dreieck 3D: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Sa 24.11.2007
Autor: leduart

Hallo
Ich hatte nen Schreibfehler! Es muss (A+B+C)/3 sein! A, B , C Punkte im Raum
Grund: stell dir 3 gleiche Massen an den 3 Punkten vor.
Der Schwerpunkt von 2 en liegt genau in der Mitte, also der von A und B bei D=(A+B)/2 da sitzt jetz das Gewicht 2. also muss man um den Schwerpunkt zwischen D und C zu finden (2*D+C)/3
Deine 2 Vektoren addiert landen bei mir auf ner Seitenmitte. auserdem hast du ja dann nen Vektor und keinen Punkt, d.h. Koordinaten.
Wenn du das mit den 3 Punkten nicht verstehst, nimm meine zweite Methode, die mit punkt + Vektor geht.
Die Winkel sind zwischen den Vektoren, die du ausgerechnet hast
also für Winkel bei A verwendest du die 2 Vektoren die von A ausgehen.
Gruss leduart

Bezug
                                
Bezug
Dreieck 3D: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:59 Sa 24.11.2007
Autor: Core2

danke ich versuchs nochmal !!
tnx

Bezug
                                        
Bezug
Dreieck 3D: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:10 So 25.11.2007
Autor: Core2

Aufgabe
Schwerpunkt:
[mm] s=\vektor{0\\ 0\\0}+\vektor{1\\ 6\\1}+\vektor{2\\ 3\\2} [/mm] / 3 = [mm] \vektor{1\\ 3\\1} [/mm]

winkel [mm] \alpha [/mm] = 57,45









kann jemand meine Ergebnise bestätigen bitte???
und das mit flächeinhalt hab ich uach versucht bzw. noch nicht verstanden


Bezug
                                                
Bezug
Dreieck 3D: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:18 Di 27.11.2007
Autor: Roadrunner

Hallo core2!


> Schwerpunkt:
> [mm]s=\vektor{0\\ 0\\0}+\vektor{1\\ 6\\1}+\vektor{2\\ 3\\2}[/mm] /  3 = [mm]\vektor{1\\ 3\\1}[/mm]

[ok]

  

> winkel [mm]\alpha[/mm] = 57,45

[notok] Da erhalte ich rund [mm] $\alpha [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 30°$ . Wie hast Du denn gerechnet?


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
        
Bezug
Dreieck 3D: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:42 Mo 26.11.2007
Autor: Core2

noch eine frage und zwar was ist wenn ich eine viereck habe
kann ich da einfach a+b+c+d / 4 anwenden?

Bezug
                
Bezug
Dreieck 3D: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:23 Di 27.11.2007
Autor: Somebody


> noch eine frage und zwar was ist wenn ich eine viereck habe
> kann ich da einfach a+b+c+d / 4 anwenden?

Leider nein. Dass [mm] $\frac{A+B+C}{3}$ [/mm] die Koordinaten des Schwerpunkts des Dreiecks $ABC$ liefert ist gewissermassen ein Glücksfall. Dieser Glücksfall wiederholt sich allerdings für das Tetraeder $ABCD$: denn beim Tetraeder ist in der Tat der Schwerpunkt [mm] $\frac{A+B+C+D}{4}$. [/mm]

Dass der Schwerpunkt eines Vierecks $ABCD$ nicht mittels [mm] $\frac{A+B+C+D}{4}$ [/mm] berechnet werden kann, kannst Du Dir wie folgt plausibel machen: Gehe zunächst vom Dreieck $ABC$ mit Schwerpunkt [mm] $S=\frac{A+B+C}{3}$ [/mm] aus. Erweitere dieses Dreieck nun zu einem Viereck $ABCD$, wobei Du $D$ beliebig nahe an der Seite $AC$ des Dreiecks $ABC$ und wahlweise näher bei $A$ oder näher (d.h. praktisch identisch mit) $C$ wählen darfst. In allen diesen Fällen bleibt der Schwerpunkt des Vierecks $ABCD$ praktisch am selben Ort, nämlich am Ort des Schwerpunkts $S$ des Dreiecks $ABC$. Wählt man $D$ sehr nahe bei $A$ so müsste insbesondere

[mm]\frac{A+B+C+D}{4}\approx \frac{A+B+C+A}{4}\approx \frac{A+B+C}{3}[/mm]

sein [mm] ($\approx$ [/mm] kann dabei, wie gesagt, beliebig genau gemacht werden, sofern man $D$ nur nahe genug bei der Ecke $A$ wählt). Aber die lineare Gleichung

[mm]\frac{2A+B+C}{4}=\frac{A+B+C}{3}[/mm]

gilt nur für spezielle Tripel $A,B,C$, nicht aber für beliebige (was der Fall sein müsste, wenn auch beim Viereck die Koordinaten des Schwerpunktes durch blosse Mittelung der Koordinaten der vier Eckpunkte berechnet werden könnten).

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