Dreieck halbieren < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 Mi 09.08.2006 | | Autor: | mechanix |
| Aufgabe | | Von einem Dreieck ABC kennt man die Seitenlängen a und b sowie den Winkel [mm]\gamma[/mm]. Auf [CA] soll ein Punkt D und auf [CB] soll ein Punkt E so bestimmt werden, dass die Strecke [DE] das Dreieck ABC halbiert und dabei so kurz wie möglich wird. |
Hallo,
ich bin schon wieder bei einer Extremwertaufgabe hängen geblieben :-/
Also mein Ansatz sieht folgendermaßen aus:
[CD]=d
[CE]=e
[DE]=c
Nebenbedingung:
[mm]A=d*e*\sin {\gamma}[/mm]
[mm]A=\frac{a*b*sin {\gamma}}{2}[/mm]
[mm] \frac{a*b*sin \gamma}{2}=d*e*\sin {\gamma} \Rightarrow \frac{\frac{1}{2}*a*b}{e}=d
[/mm]
Zielfunktion:
[mm] c(d,e)=\sqrt{d^2+e^2-2de*\cos{\gamma}}
[/mm]
Eingesetzt:
[mm] c(e)=e^2+\frac{a^2*b^2}{4*e^2}-\frac{ab}{e}*\sin{\gamma}
[/mm]
[mm] c'(e)=2e-\frac{\frac{1}{2}*a^2*b^2}{e^3}+\frac{ab}{e^2}*\sin{\gamma}
[/mm]
c'(e)=0
[mm] 0=2e^4-\frac{1}{2}*a^2*b^2+a*b*e*\sin{\gamma}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Es wäre toll, wenn ihr mir helfen würdet, die Gleichung aufzulösen.
vielen dank im vorraus
gruß
mechanix
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
EDIT: Mir ist aufgefallen, dass die Benennung der Teile recht unübersichtlich ist. Daher habe ich hier noch eine kleine Planskizze angefertigt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Mi 09.08.2006 | | Autor: | riwe |
da stimmt soweit alles, bis auf
[mm] c^{2}(e,d)=e^{2}+d^{2}-2ed*\cos\gamma
[/mm]
mit [mm] d=\frac{ab}{2e}
[/mm]
[mm] f(e)=e^{2}+(\frac{ab}{2e})^{2}-ab\cdot \cos\gamma
[/mm]
der rest sollte dann kein problem sein
wenn es denn stimmt: d = [mm] \sqrt{\frac{ab}{2}}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 Mi 09.08.2006 | | Autor: | mechanix |
Hallo riwe,
vielen Dank, du hast mir sehr geholfen. Ich habe jetzt auch d = [mm]\sqrt{\frac{ab}{2}}[/mm] herausbekommen!
Gruß
mechanix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Mi 09.08.2006 | | Autor: | riwe |
super!
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