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| Aufgabe | Die Zahlen [mm] $z_1 [/mm] , [mm] z_2 [/mm] , [mm] z_3$ [/mm] bilden die Ecken eines gleichseitgen Dreiecks genau dann, wenn
[mm] $z_1^2 [/mm] + [mm] z_2^2 [/mm] + [mm] z_3^3 [/mm] = [mm] z_1 z_2 [/mm] + [mm] z_1 z_3 [/mm] + [mm] z_2 z_3$ [/mm] gilt. |
Hallo zusammen, ich habe mal wieder eine Frage.
Mein Lösungsweg zu dieser Aufgabe bisher war, dass ich den Beweis begonnen habe mit einem einfachen Beispiel auf dem Einheitskreis.
Ich habe gezeigt, dass die Wurzeln aus 1, von denen ich laut Vorlesung weiß, dass sie garantiert ein gleichseitiges Dreieck bilden, diese Bedinung erfüllen.
Anschliessend habe ich unter der Bedingung [mm] $r_1 [/mm] = [mm] r_2 [/mm] = [mm] r_3$ [/mm] gezeigt, dass der Radius beliebig gewählt werden kann und die Bedingung immernoch erfüllt ist.
Als drittes habe ich einen beliebigen Radius und einen beliebigen Winkel
[mm] $\varphi$ [/mm] bzw. [mm] $\varphi [/mm] + 120°$ und [mm] $\varphi [/mm] + 240°$ gewählt und gezeigt, dass die Bedingung immernoch erfüllt ist.
Meine Frage ist nun, kann man das so machen wie ich es bisher gemacht habe? Und wichtiger: Müsste ich nicht das ganze noch irgendwie Verschieben? Bisher lag der Mittelpunkt ja immer im Ursprung. Wenn ja, wie mache ich das? Eine weitere Zahl [mm] $z_4$ [/mm] zu den übrigen hinzuaddieren?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe :)
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> Die Zahlen [mm]z_1 , z_2 , z_3[/mm] bilden die Ecken eines
> gleichseitgen Dreiecks genau dann, wenn
> [mm]z_1^2 + z_2^2 + z_3^3 = z_1 z_2 + z_1 z_3 + z_2 z_3[/mm] gilt. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
An der Gleichung stimmt wohl etwas nicht ganz.
Sie sollte doch eigentlich 100% ig symmetrisch sein !
> Hallo zusammen, ich habe mal wieder eine Frage.
>
> Mein Lösungsweg zu dieser Aufgabe bisher war, dass ich den
> Beweis begonnen habe mit einem einfachen Beispiel auf dem
> Einheitskreis.
>
> Ich habe gezeigt, dass die Wurzeln aus 1, von denen ich
> laut Vorlesung weiß, dass sie garantiert ein
> gleichseitiges Dreieck bilden, diese Bedinung erfüllen.
So ein Beispiel kann natürlich nur eine kleine Vorübung
zum eigentlichen (zweiteiligen) Beweis sein. Mit dem
Beispiel hast du ja erst gezeigt, dass es (wenigstens)
ein gleichseitiges Dreieck [mm] z_1z_2z_3 [/mm] gibt, dessen Eck-
Zahlen [mm] z_i [/mm] die Gleichung erfüllen.
> Anschliessend habe ich unter der Bedingung [mm]r_1 = r_2 = r_3[/mm]
> gezeigt, dass der Radius beliebig gewählt werden kann und
> die Bedingung immernoch erfüllt ist.
>
> Als drittes habe ich einen beliebigen Radius und einen
> beliebigen Winkel
> [mm]\varphi[/mm] bzw. [mm]\varphi + 120°[/mm] und [mm]\varphi + 240°[/mm] gewählt
> und gezeigt, dass die Bedingung immernoch erfüllt ist.
>
> Meine Frage ist nun, kann man das so machen wie ich es
> bisher gemacht habe? Und wichtiger: Müsste ich nicht das
> ganze noch irgendwie Verschieben? Bisher lag der
> Mittelpunkt ja immer im Ursprung. Wenn ja, wie mache ich
> das? Eine weitere Zahl [mm]z_4[/mm] zu den übrigen hinzuaddieren?
Ja, vielleicht ist das ein möglicher Weg. Nur hättest du
dann immer noch erst den "halben" Beweis.
Ich würde versuchen, die Aussage "die [mm] z_i [/mm] bilden ein
gleichseitiges Dreieck" zuerst mal geometrisch und
algebraisch zu beschreiben. Ist z.B. das Dreieck [mm] z_1z_2z_3
[/mm]
gleichseitig und positiv orientiert (den umgekehrten
Fall sollte man sich natürlich auch noch anschauen),
so gilt
[mm] $\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}\ [/mm] =\ [mm] e^{i*\pi/3}$
[/mm]
( ... warum eigentlich ? ... )
Vielleicht lässt sich damit etwas anfangen ... 
LG , Al-Chw.
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Hallo und vielen Dank,
schade, ich hab gehofft ich wäre schon fast fertig. Natürlich sollte es in der Gleichung [mm] $z_3^2$ [/mm] heißen, da habe ich mich vertippt.
Kurze Vorfrage zu deinem Tipp, bevor ich mich in die Arbeit stürze:
Die Exponentialform einer komplexen Zahl haben wir in der Vorlesung noch nicht bewiesen und ich darf sie entsprechend auch nicht verwenden. Ist dein Lösungsweg auch in der Polarform so nachvollziehbar oder verrenne ich mich dann? Nicht, dass wir uns missverstehen.
Noch kurz dazu:
Diese Gleichung gilt meiner Meinung nach, weil beispielswiese [mm] $z_3$ [/mm] aus [mm] $z_2$ [/mm] durch Drehung um [mm] $z_1$ [/mm] hervorgeht, und zwar immer um den Winkel 120° bzw [mm] $\bruch{\pi}{3}$. [/mm] Wieso genau man das so als Bruch schreiben kann, kann ich dir allerdings noch nicht sagen... ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
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> Die Exponentialform einer komplexen Zahl haben wir in der
> Vorlesung noch nicht bewiesen und ich darf sie entsprechend
> auch nicht verwenden. Ist dein Lösungsweg auch in der
> Polarform so nachvollziehbar oder verrenne ich mich dann?
Polarform oder Exponentialdarstellung ist hier eigentlich
gleichwertig.
> Noch kurz dazu:
>
> Diese Gleichung gilt meiner Meinung nach, weil
> beispielswiese [mm]z_3[/mm] aus [mm]z_2[/mm] durch Drehung um [mm]z_1[/mm] hervorgeht,
> und zwar immer um den Winkel 120° bzw [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm].
Nicht 120°, sondern 60°. Ich betrachte ja eigentlich
die Vektoren [mm] \overrightarrow{z_1z_2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{z_1z_3} [/mm] . Der zweite entsteht durch
Drehung des ersten um 60° bzw. [mm] \frac{\pi}{3} [/mm] .
> Wieso genau man das so als Bruch schreiben kann, kann ich
> dir allerdings noch nicht sagen...
In der Polarform dividiert man zwei komplexe Zahlen,
indem man die Beträge dividiert und die Winkel
subtrahiert. Im vorliegenden Fall ergibt also die
Division
[mm] $\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1}$
[/mm]
als Ergebnis die komplexe Zahl q mit dem Betrag
$\ |q|\ =\ [mm] \frac{|z_3-z_1|}{|z_2-z_1|}\ [/mm] =\ 1$
und dem Winkel arg(q) = [mm] arg(z_3-z_1) [/mm] - [mm] arg(z_2-z_1) [/mm] = 60° .
Es ist also
q = cos(60°)+i*sin(60°) = [mm] \frac{1+i*\sqrt{3}}{2}
[/mm]
Zum weiteren Vorgehen: um eine Gleichung ohne
diesen konkreten Zahlenwert von q zu erhalten,
kannst du nochmals eine analoge Gleichung auf-
stellen (Stichwort zyklische Vertauschung), um
diesen Wert wieder zu eliminieren.
Es wird dann auch klar, wie man den Fall mit
umgekehrtem Umlaufsinn des Dreiecks praktisch
im selben Aufwasch erledigen kann ...
LG , Al-Chw.
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Vielen Dank nochmal für die ausführliche Hilfe!
Ich habe nun versucht, nochmal das selbe für $ [mm] \overrightarrow{z_2z_1} [/mm] $ und $ [mm] \overrightarrow{z_2z_3} [/mm] $ zu folgern, und kam auf die Gleichung:
$ [mm] \frac{z_1-z_2}{z_3-z_2} [/mm] = q $
Damit konnte man die beiden Gleichungen also gleichsetzen, und ich kam auf:
$ [mm] \frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} [/mm] = [mm] \frac{z_1-z_2}{z_3-z_2} [/mm] $,
welches ausmultipliziert dann schon die Gleichung aus der Bedinung ergab.
Wäre damit mein Beweis bereits abgeschlossen oder müsste ich mir für den negativ orientierten Fall noch ein entsprechendes Gleichungssystem aufbauen? Da würden sich ja im Grunde nur die Orientierungen der Vektoren umkehren.
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> Vielen Dank nochmal für die ausführliche Hilfe!
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> Ich habe nun versucht, nochmal das selbe für
> [mm]\overrightarrow{z_2z_1}[/mm] und [mm]\overrightarrow{z_2z_3}[/mm] zu
> folgern, und kam auf die Gleichung:
>
>
> [mm]\frac{z_1-z_2}{z_3-z_2} = q[/mm]
>
> Damit konnte man die beiden Gleichungen also gleichsetzen,
> und ich kam auf:
>
> [mm]\frac{z_3-z_1}{z_2-z_1} = \frac{z_1-z_2}{z_3-z_2} [/mm],
>
> welches ausmultipliziert dann schon die Gleichung aus der
> Bedinung ergab.
>
> Wäre damit mein Beweis bereits abgeschlossen
Nein. Diese Betrachtung zeigt ja erst: Falls das Dreieck
[mm] z_1z_2z_3 [/mm] ein positiv orientiertes gleichseitiges Dreieck
in der Gaußschen Ebene ist, so gilt die Gleichung
[mm] z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1 [/mm]
> oder müsste
> ich mir für den negativ orientierten Fall noch ein
> entsprechendes Gleichungssystem aufbauen? Da würden sich
> ja im Grunde nur die Orientierungen der Vektoren umkehren.
Man kann die gleichen Vektoren nehmen, aber der
Quotient q hat dann den Wert [mm] \frac{1-i*\sqrt{3}}{2} [/mm] anstatt
[mm] \frac{1+i*\sqrt{3}}{2} [/mm] . Betrachtet man zwei Gleichungen,
aus welchen man dann q eliminieren kann, gelangt
man aber wieder zur selben Gleichung wie beim
positiv orientierten Dreieck.
Vor allem muss man sich nun aber noch um die
umgekehrte Beweisrichtung kümmern, also um
den Beweis, dass jedes Dreieck, dessen Eckpunkte
die Gleichung erfüllen, auch wirklich gleichseitig
sein muss.
LG , Al-Chw.
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Um nicht so viele Indizes schreiben zu müssen, bezeichne ich die Ecken des Dreiecks mit [mm]a,b,c[/mm].
Wann ist dieses nun gleichseitig? Genau dann, wenn man zum dritten Punkt gelangt, indem man an die Mitte einer Seite einen zu dieser senkrechten Vektor anheftet, der [mm]\frac{\sqrt{3}}{2}[/mm]-mal so lang wie diese Seite ist (Höhe im gleichseitigen Dreieck, Satz des Pythagoras).
Durch Multiplikation mit [mm]\pm \operatorname{i}[/mm] wird ein Vektor um 90° gedreht. Daher lautet die obige Bedingung in Formelschreibweise übersetzt:
[mm]\text{Dreieck gleichseitig} \ \ \Leftrightarrow \ \ \frac{1}{2} \left( a + b \right) \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \operatorname{i} \left( a - b \right) = c \ \ \Leftrightarrow \ \ \pm \sqrt{3} \operatorname{i} \left( a - b \right) = 2c - a - b[/mm]
Jetzt noch quadrieren (wegen [mm]\pm[/mm] hier eine Äquivalenzumformung), ein bißchen ordnen und zusammenfassen.
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