Dreiecke < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Do 10.12.2009 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Es sei [mm] a_{0} \in \IR_{>0}. [/mm] Wir definieren rekursiv Dreiecke [mm] A_{n}, [/mm] n [mm] \in \IN. [/mm] Dabei sei [mm] A_{0} [/mm] ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge [mm] a_{0} [/mm] und [mm] A_{n+1} [/mm] ein göleichseitiges Dreeck, dessen Seitenlängen [mm] a_{n+1} [/mm] mit der Höhe [mm] h_{n} [/mm] des Dreiecks [mm] A_{n} [/mm] übereinstimmen, n [mm] \in \IN.
[/mm]
Es seinen [mm] u_{n} [/mm] der Umfang des Dreiecks [mm] A_{n} [/mm] und [mm] f_{n} [/mm] sein Flächeninhalt, [mm] n\in \IN.
[/mm]
A) Geben Sie die Formeln für [mm] u_{n} [/mm] und [mm] f_{n} [/mm] , n [mm] \in \IN, [/mm] an.
B) Begründen Sie, warum die Reihen [mm] \summe_{i=0}^{\infty} u_{n} [/mm] und [mm] \summe_{i=0}^{\infty} f_{n} [/mm] konvergieren, und bestimmen ihre Werte. |
Hallo
Also ich bin mir bei dieser Aufgabe etwas sehr unsicher.
A) muss ich hier wirklich nur die einfachen Formeln einsetzten ?
[mm] u_{n} [/mm] := [mm] 3*a_{n}
[/mm]
[mm] f_{n} [/mm] := [mm] \bruch{h_{n}*a_{n}}{2} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
B) ich hab keine ahnung wieso die Reihen konvergieren. ich dachte erst dass es was damit zu tun hat dass die seiten länge [mm] a_{n+1} [/mm] gleich der höhe [mm] h_{n} [/mm] wird hab aber die idee dann doch verworfen.
Könnte mir da jemand helfen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Do 10.12.2009 | | Autor: | abakus |
Hallo,
im gleichseitigen Dreieck mit einer Seitenlänge a hat die Höhe dieses Dreiecks grundsätzlich die Länge [mm] \bruch{\wurzel3}{2}a.
[/mm]
Hat also ein Dreieck [mm] D_0 [/mm] die Seitenlänge a, so hat das Dreieck [mm] D_n [/mm] die Seitenlänge [mm] a\cdot (\bruch{\wurzel3}{2})^n [/mm] .
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Do 10.12.2009 | | Autor: | Ayame |
Also hätte ich für den Flächeninhalt diese formel :
[mm] f_{n}= \bruch{a_{0}^{2}* (\bruch{\wurzel{3}}{2})^{n}}{2}
[/mm]
und der Grenzwert von [mm] \summe_{n=0}^{\infty} f_{n} [/mm] ist dann 0.
Und beim Umfang : wenn der Flächeninhalt gegen 0 konvergiert dann tut es auch der umfang.
[mm] u_{n}= [/mm] 3 * [mm] a_{0} [/mm] dann forme ich [mm] f_{n} [/mm] nach [mm] a_{0} [/mm] um : [mm] a_{0}= \wurzel{\bruch{4 * f_{n}}{(\bruch{\wurzel{3}}{2})^{n}}} [/mm] wir wissen dass [mm] f_{n} [/mm] konvergiert gegen Null.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 3 * [mm] \wurzel{\bruch{4 * f_{n}}{(\bruch{\wurzel{3}}{2})^{n}}} [/mm] = 0
Ich glaub ich bin übers ziel hinausgeschossen oder doch nicht ?
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Hallo Ayame,
> Ich glaub ich bin übers ziel hinausgeschossen oder doch
> nicht ?
Ein bisschen...
Erst einmal solltest Du über den Unterschied von Folge und Reihe nachdenken - das darf man nicht verwechseln, sonst bekommt man massive Schwierigkeiten.
Beide Folgen konvergieren gegen Null, jawohl. Das ist auch das Mindeste, was man erwarten kann, sonst braucht man die dazugehörige Reihe gar nicht mehr zu untersuchen. Das ist ja das sog. Trivialkriterium.
Deine Flächenfolge stimmt noch nicht, weil der Faktor, der aus der Höhe stammt, ja auch quadriert werden muss.
Ansonsten hast Du einfach zwei geometrische Reihen. Kennst Du die allgemeine Summenformel dafür?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Do 10.12.2009 | | Autor: | Ayame |
der Unterschied zwischen reihe und folge ist dass reihen Summen sind, oder? Also mit summenzeichen abgekürzt werden.
Der Faktor aus der Höhe ? Welchen genau meinst du?
Leider nein, bzw ich bin grad so durcheinander dass ich selbst nicht weiß wo oben und unten ist.
Es gibt eine Summenformel für geometrische Reihen?
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Hallo nochmal,
> der Unterschied zwischen reihe und folge ist dass reihen
> Summen sind, oder? Also mit summenzeichen abgekürzt
> werden.
Ja. Vor allem aber ist die Reihe noch lange nicht konvergent, bloß weil die Folge, die da aufsummiert wird, konvergent ist!
> Der Faktor aus der Höhe ? Welchen genau meinst du?
[mm] \sin{60°}=\bruch{1}{2}\wurzel{3}
[/mm]
> Leider nein, bzw ich bin grad so durcheinander dass ich
> selbst nicht weiß wo oben und unten ist.
> Es gibt eine Summenformel für geometrische Reihen?
Eine geometrische Folge ist so definiert: [mm] a_{n+1}=q*a_n [/mm] mit festem [mm] q\in\IR [/mm] (oder auch aus anderen Zahlensystemen, aber das ist jetzt mal egal).
Wenn man diese Folge aufsummiert, erhält man eine geometrische Reihe. Und für die gibt es eine Summenformel für die Summierung der Glieder [mm] a_0 [/mm] bis [mm] a_n. [/mm] Sie enthält den Startwert [mm] a_0, [/mm] den Folgenquotienten q (sogar an zwei Stellen) und die Obergrenze n. Es sollte mich wundern, wenn Du diese Formel noch nie gesehen hättest.
Für unendliche geometrische Reihen lässt sich die Formel noch erheblich vereinfachen, sofern |q|<1 ist - und sonst wäre die Folge auch keine Nullfolge und die Reihe also nicht konvergent.
Glücklicherweise ist ja [mm] \left|\bruch{1}{2}\wurzel{3}\right|<1 [/mm] erfüllt.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Ayame |
Ich hab mich etwas schlau gemacht zu den geometrischen reihen :
[mm] \summe_{k=1}^{n} a_{0}q^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1 - q^{n+1}}{1 - q} a_{0}
[/mm]
Also wenn q = [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{3} [/mm] , dann folgt :
[mm] \summe_{k=1}^{n} a_{0} \bruch{1}{2} \wurzel{3}^{k} [/mm] = [mm] \bruch{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}^{n+1}}{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}} a_{0}
[/mm]
Und wenn ich den grenzwert betrachte darf ich vereinfachen :
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{0} \bruch{1}{2} \wurzel{3}^{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}}
[/mm]
Richtig ?
Aber ich verstehe immer noch nicht wieso ich den Faktor [mm] \bruch{1}{2} \wurzel{3} [/mm] in meiner letzten formel
[mm] f_{n} [/mm] = [mm] \bruch{a_{0}^{2} * \bruch{1}{2} \wurzel{3}}{2} [/mm] hätte quadrieren sollen ?
Tut mir leid wenn ich schwer von begriff bin :(
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Hallo Ayame,
> Ich hab mich etwas schlau gemacht zu den geometrischen
> reihen :
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{0}q^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1 - q^{n+1}}{1 - q} a_{0}[/mm]
>
> Also wenn q = [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{3}[/mm] , dann folgt :
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{0} \red{\left(}\bruch{1}{2} \wurzel{3}\red{\right)}^{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1 - \red{\left(}\bruch{1}{2} \wurzel{3}\red{\right)}^{n+1}}{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}} a_{0}[/mm]
>
> Und wenn ich den grenzwert betrachte darf ich vereinfachen
> :
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{0} \red{\left(}\bruch{1}{2} \wurzel{3}\red{\right)}^{n}[/mm] =
Bis hierher alles gut, außer den fehlenden Klammern
> [mm]\red{\limes_{n\rightarrow\infty}} \bruch{1}{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}}[/mm]
>
> Richtig ?
Hier gehört kein Limes mehr hin; alles was danach kommt, ist ja auch von n unabhängig.
> Aber ich verstehe immer noch nicht wieso ich den Faktor
> [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{3}[/mm] in meiner letzten formel
>
> [mm]f_{n}[/mm] = [mm]\bruch{a_{0}^{2} * \bruch{1}{2} \wurzel{3}}{2}[/mm]
> hätte quadrieren sollen ?
Das ist doch nicht die Formel für [mm] f_n, [/mm] sondern nur für [mm] f_0.
[/mm]
Wie sieht [mm] f_n [/mm] aus?
> Tut mir leid wenn ich schwer von begriff bin :(
Oder ich?
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Ayame |
Ok ich versuch mich zu korrigieren :
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{0} (\bruch{1}{2} \wurzel{3})^{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1 - (\bruch{1}{2} \wurzel{3})^{n+1}}{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}} *a_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}} *a_{0} [/mm] = 0 ??? (weil [mm] a_{0} \not= [/mm] 0 aber ich könnte ja [mm] a_{0}= [/mm] 0,0001 wählen oder ?)
[mm] f_{0} [/mm] = [mm] \bruch{a_{0}^{2} *\bruch{1}{2}\wurzel{3}}{2}
[/mm]
[mm] f_{n} [/mm] = [mm] \bruch{a_{0}^{2} *(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}}{2}
[/mm]
Sieht das schon richtiger aus ?
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Hallo,
> [mm]\summe_{n=\red{0}}^{\infty} a_{0} (\bruch{1}{2} \wurzel{3})^{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1 - (\bruch{1}{2} \wurzel{3})^{n+1}}{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}} *a_{0}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}} *a_{0}[/mm]
Bis hierher: richtig.
> = 0 ???
Nein! Warum sollte das =0 sein?
Es wäre doch auch von der Anschauung her absurd, denn Du summiertest ja Umfänge auf, oder?
Hm- Dir scheint der Faktor 3 verlorengegengen zu sein. Es ist doch [mm] u_n=3a_n.
[/mm]
> (weil [mm]a_{0} \not=[/mm] 0 aber ich könnte ja [mm]a_{0}=[/mm] 0,0001
> wählen oder ?)
??? Das Ergebnis Deiner Summation ist [mm] a_0\bruch{1}{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}}.
[/mm]
Wählst Du [mm] a_0=0.0001, [/mm] dann ist's [mm] 0.0001\bruch{1}{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}} [/mm] , wähltst Du [mm] a_0=10^{13}, [/mm] dann ist's [mm] 10^{13}\bruch{1}{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}}.
[/mm]
>
> [mm]f_{0}[/mm] = [mm]\bruch{a_{0}^{2} *\bruch{1}{2}\wurzel{3}}{2}[/mm]
Ja.
>
> [mm]f_{n}[/mm] = [mm]\bruch{a_{0}^{2} *(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}}{2}[/mm]
>
> Sieht das schon richtiger aus ?
Nein. Du kannst doch wohl die Fläche eines gleichseitigen Dreieckes berechnen?
Wir rechnen "Grundseite mal Höhe durch 2".
Nun wurde festgestellt [mm] a_n=a_{0}(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}.
[/mm]
Was ist dann [mm] h_n? h_n= [/mm] ???
Nun das Produkt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Ayame |
Also hier die Reihe für den Umfang :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} 3*(a_{0} (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})
[/mm]
und die Reihe für den Flächeninhalt :
[mm] a_{n}= a_{0}* (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}
[/mm]
[mm] h_{n}= \bruch{1}{2}\wurzel{3} [/mm] * [mm] a_{n}
[/mm]
Daraus folgt :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{a_{0}* (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n} *\bruch{1}{2}\wurzel{3} *a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}}{2} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{3} *(a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})^{2}}{2} [/mm]
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Hallo Ayame,
> Also hier die Reihe für den Umfang :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} 3*(a_{0} (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und die Reihe Folge für den Flächeninhalt :
> [mm]a_{n}= a_{0}* (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}[/mm]
> [mm]h_{n}= \bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm] * [mm]a_{n}[/mm]
Nein. [mm] a_n [/mm] ist hier die Folge für die Seitenlänge.
Der Flächeninhalt [mm] A_n=\bruch{1}{2}a_n*h_n=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}\wurzel{3}*a_n^2
[/mm]
> Daraus folgt :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{a_{0}* (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n} *\bruch{1}{2}\wurzel{3} *a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}}{2}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{3} *(a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})^{2}}{2}[/mm]
Was hätte das sein sollen, wenn die Voraussetzungen gestimmt hätten? Ich werde nicht schlau daraus.
Weißt du noch, was du berechnen solltest?
Dazu müsstest Du jetzt ja alles nötige Material haben.
Bau es mal zusammen.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:51 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Ayame |
> Der Flächeninhalt
> [mm] A_n=\bruch{1}{2}a_n*h_n=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}\wurzel{3}*a_n^2
[/mm]
Genau die Formel hab ich doch hier benutzt :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2} \bruch{1}{2}\wurzel{3} *a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}*a_{0}(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{3} *(a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}) *(a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}) }{2}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{3} *(a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})^{2}}{2} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\wurzel{3} *(a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})^{2}}{4}
[/mm]
Oder habe ich was falsch verstanden ?
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> > Der Flächeninhalt
> >
> [mm]A_n=\bruch{1}{2}a_n*h_n=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}\wurzel{3}*a_n^2[/mm]
> Genau die Formel hab ich doch hier benutzt :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{2} \bruch{1}{2}\wurzel{3} *a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}*a_{0}(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{3} *(a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}) *(a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}) }{2}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{3} *(a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})^{2}}{2}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\wurzel{3} *(a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})^{2}}{4}[/mm]
>
>
> Oder habe ich was falsch verstanden ?
Nein.
Nun mußt Du die Reihe noch auf die Form [mm] \summe c_0q^k [/mm] bringen, damit Du mit der Formel für die geometrische Reihe anrücken kannst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Ayame |
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{0}^{2} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{3} * ((\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})^{2}}{4} [/mm]
Und ich kann hier die wurzel ziehen :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{0} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel[4]{3} * (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}}{2} [/mm]
Dann weiß ich über geometrische reihen :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{0} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel[4]{3} * (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}}{2} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1 - q^{n+1}}{1 - q}= \bruch{1}{1 - q} [/mm]
Aber ist q wirklich : q = [mm] \bruch{\wurzel[4]{3} * (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}}{2} [/mm] ?
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{0}^{2}[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel{3} * ((\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})^{2}}{4}[/mm]
>
> Und ich kann hier die wurzel ziehen :
Hallo,
was soll das denn werden?
Da steht nirgends was davon, daß Du die Wurzel ziehen sollst.
Jetzt bin ich etwas ratlos...
Gruß v. Angela
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{0}[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel[4]{3} * (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}}{2}[/mm]
>
> Dann weiß ich über geometrische reihen :
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} a_{0}[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel[4]{3} * (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}}{2}[/mm]
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1 - q^{n+1}}{1 - q}= \bruch{1}{1 - q}[/mm]
>
> Aber ist q wirklich : q = [mm]\bruch{\wurzel[4]{3} * (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}}{2}[/mm]
> ?
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Ayame |
OK, also lass einen schritt zurück gehen :
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{0}^{2}*\bruch{\wurzel{3}*((\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})^{2}}{4}
[/mm]
Das war doch noch richtig oder ?
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> OK, also lass einen schritt zurück gehen :
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \red{a_{0}^{2}}*\bruch{ \red{\wurzel{3}}*((\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})^{2}}{\red{4}}[/mm]
>
> Das war doch noch richtig oder ?
Hallo,
ja das war richtig.
Die rot markierten Faktoren kannst Du vor die Summe ziehen, sie sind ja konstant.
Das Verbleibende schreibe in der Form [mm] (...)^n. [/mm] (Potenzgesetze)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Ayame |
Wie ich kann die konstanten faktoren vor die Wurzel ziehen ?
Welche Wurzel ?
Ach und wegen der Potenzregel : Ich kann doch für [mm] ((\bruch{1}{2} \wurzel{3})^{n})^{2} [/mm] auch [mm] (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{2n} [/mm] schreiben oder ?
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> Wie ich kann die konstanten faktoren vor die Wurzel ziehen
> ?
> Welche Wurzel ?
Oh weh! Ich meinte: vor die Summe.
>
>
> Ach und wegen der Potenzregel : Ich kann doch für
> [mm]((\bruch{1}{2} \wurzel{3})^{n})^{2}[/mm] auch
> [mm](\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{2n}[/mm] schreiben oder ?
Ja. Für Deine Zecke noch praktischer ist dies: [mm] ((\bruch{1}{2} \wurzel{3})^{2})^{n}
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Ayame |
Ah super also hätte ich :
[mm] a_{0}^{2}*\bruch{1}{4}*\wurzel{3} \summe_{k=0}^{\infty} (\bruch{3}{4})^{n}
[/mm]
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Hallo Ayame,
> Ah super also hätte ich :
>
> [mm]a_{0}^{2}*\bruch{1}{4}*\wurzel{3} \summe ^{\infty} _{\red{n}=0} \left(\bruch{3}{4}\right)^{n}[/mm]
Ja, genau. Habe nur die Klammern um den Bruch größer gemacht und die Laufvariable mit der hinter der Summe abgeglichen...
Und das ergibt jetzt was?
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Ayame |
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} q^{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1 - q^{n+1}}{1 - q} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 - q}
[/mm]
[mm] q^{n} [/mm] = [mm] (\bruch{3}{4})^{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1- (\bruch{3}{4})^{n+1}}{1 - \bruch{3}{4}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1 - \bruch{3}{4}} [/mm] = 4
Aber darf ich denn die konstanten vor der Summe außer Acht lassen ?
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Hallo nochmal,
den Grenzwert der Summe hast du richtig berechnet.
> Aber darf ich denn die konstanten vor der Summe außer Acht
> lassen ?
In gar keinem Fall! Die bleiben auch jetzt noch erhalten.
lg
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Fr 11.12.2009 | | Autor: | Ayame |
Danke schön für eure Gedult und Mühe :)
Wünsche euch allen noch ein schönes Wochenende und einen ruhigen 3. Advent
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> Hallo Ayame,
>
> > Also hier die Reihe für den Umfang :
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} 3*(a_{0} (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})[/mm]
>
>
>
> > und die Reihe Folge für den Flächeninhalt :
> > [mm]a_{n}= a_{0}* (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}[/mm]
> > [mm]h_{n}= \bruch{1}{2}\wurzel{3}[/mm]
> * [mm]a_{n}[/mm]
>
> Nein. [mm]a_n[/mm] ist hier die Folge für die Seitenlänge.
>
> Der Flächeninhalt
> [mm]A_n=\bruch{1}{2}a_n*h_n=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{2}\wurzel{3}*a_n^2[/mm]
>
> > Daraus folgt :
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{a_{0}* (\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n} *\bruch{1}{2}\wurzel{3} *a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n}}{2}[/mm]
> > = [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{\bruch{1}{2}\wurzel{3} *(a_{0}*(\bruch{1}{2}\wurzel{3})^{n})^{2}}{2}[/mm]
>
> Was hätte das sein sollen, wenn die Voraussetzungen
> gestimmt hätten? Ich werde nicht schlau daraus.
Hallo,
das sind die aufsummierten Flächeninhalte, [mm] \summe f_n. [/mm] Sie faßt bestimmt noch alles gescheit zusammen und schreibt den Reihenwert hin.
Gruß v. Angela
>
> Weißt du noch, was du berechnen solltest?
>
> Dazu müsstest Du jetzt ja alles nötige Material haben.
> Bau es mal zusammen.
>
> lg
> reverend
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:28 Fr 11.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich hab mich etwas schlau gemacht zu den geometrischen
> reihen :
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{0}q^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1 - q^{n+1}}{1 - q} a_{0}[/mm]
Das stimmt nicht ganz ! Summation bei 0 beginnen:
Es ist [mm]\summe_{k=0}^{n} a_{0}q^{k}[/mm] = [mm]\bruch{1 - q^{n+1}}{1 - q} a_{0}[/mm]
FRED
>
> Also wenn q = [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{3}[/mm] , dann folgt :
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> [mm]\summe_{k=1}^{n} a_{0} \bruch{1}{2} \wurzel{3}^{k}[/mm] =
> [mm]\bruch{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}^{n+1}}{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}} a_{0}[/mm]
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> Und wenn ich den grenzwert betrachte darf ich vereinfachen
> :
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> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{0} \bruch{1}{2} \wurzel{3}^{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1 - \bruch{1}{2} \wurzel{3}}[/mm]
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> Richtig ?
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> Aber ich verstehe immer noch nicht wieso ich den Faktor
> [mm]\bruch{1}{2} \wurzel{3}[/mm] in meiner letzten formel
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> [mm]f_{n}[/mm] = [mm]\bruch{a_{0}^{2} * \bruch{1}{2} \wurzel{3}}{2}[/mm]
> hätte quadrieren sollen ?
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> Tut mir leid wenn ich schwer von begriff bin :(
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