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| Aufgabe | Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die Hypothenuse und der Radius des Inkreises gegeben sind.
Die Maße sind hierbei frei wählbar. |
Hallo zusammen,
wir haben diese Aufgabe bekommen und wissen nicht, wie wir anfangen sollen.
Uns ist klar, dass wir die Hypothenuse c gegeben haben, um die wir den Thaleskreis zeichnen können.
Der Innkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden, die wir aber aufgrund der fehlenden Winkel an der Grundseite nicht einzeichnen können.
Alls Tipp wurde uns gesagt, wir sooten den Umfangswinkelsatz und die Tatsache nutzen, dass der Winkel am Schnittpunkt der Winkelhalbierenden 135° betragen muss.
Wir kommen mit all diesen Angaben aber auf kein konkretes Dreieck.
Wir würden uns freuen, wenn ihr uns einen Tipp zur Bearbeitung geben könntet.
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mo 16.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo beatbulette,
mir fällt noch ein, dass der Mittelpunkt des Inkreises auf einer Parallelen zur Hypotenuse liegen muss, die von der Hypotenusen den Inkreisradius als Abstand hat.
Schöne Grüße,
ardik
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Mo 16.06.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Dorothea!
> Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck, bei dem die
> Hypothenuse und der Radius des Inkreises gegeben sind.
> Die Maße sind hierbei frei wählbar.
> Uns ist klar, dass wir die Hypothenuse c gegeben haben, um
> die wir den Thaleskreis zeichnen können.
> Der Inkreismittelpunkt ist der Schnittpunkt der
> Winkelhalbierenden, die wir aber aufgrund der fehlenden
> Winkel an der Grundseite nicht einzeichnen können.
> Alls Tipp wurde uns gesagt, wir sollten den
> Umfangswinkelsatz und die Tatsache nutzen, dass der Winkel
> am Schnittpunkt der Winkelhalbierenden 135° betragen muss.
Sei r der Inkreisradius und c = AB die Hypotenuse. Dann zeichnest du über c den Faßkreis (Umfangswinkelkreis) für 135°. Zu c zeichnest du die Parallele im Abstand r. Das gibt 2 Schnittpunkte für den Inkreismittelpunkt M. Damit kannst du den Inkreis zeichnen. Die Tangenten von A und B an den Inkreis schneiden sich dann in C. (4 Lösungen [2 oben, 2 unten], davon je 2 kongruent)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Danke schonmal für die schnellen Antworten.
Der zweite Teil der Konstruktion ist uns schon klarer geworden, allerding gibt es immer noch ein Problem mit dem Umfangskreis.
Wenn wir ein rechteinkliges Dreieck haben, dann müsste doch der Umkreis mit dem Thaleskreis übereinstimmen, oder haben wir hier einen Denkfehler? Dann wäre doch auch der Winkel automatisch gleich 180° und nicht gleich 135°.
Könntest du nochmal erklären, wie wir auf den Umkreis und den Winkel von 135° kommen?
Vielen Dank schonmal und Grüße zurück!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Di 17.06.2008 | | Autor: | weduwe |
so, nicht der umkreis ist gefragt
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Di 17.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke schonmal für die schnellen Antworten.
> Der zweite Teil der Konstruktion ist uns schon klarer
> geworden, allerding gibt es immer noch ein Problem mit dem
> Umfangskreis.
> Wenn wir ein rechteinkliges Dreieck haben, dann müsste
> doch der Umkreis mit dem Thaleskreis übereinstimmen, oder
> haben wir hier einen Denkfehler? Dann wäre doch auch der
> Winkel automatisch gleich 180° und nicht gleich 135°.
> Könntest du nochmal erklären, wie wir auf den Umkreis und
> den Winkel von 135° kommen?
> Vielen Dank schonmal und Grüße zurück!
Hallo,
du kannst die Aufgabe algebraisch lösen.
Der Flächeninhalt des Dreiecks ist ab/2 oder aber auch r(a+b+c)/2.
Das kannst du gleichsetzten und erhältst
ab=ar+br+cr
Außerdem gilt [mm] a^2+b^2=c^2, [/mm] damit hast du ein System mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten a und b.
Damit kannst du a und b berechnen. Dabei entstehen irgenwelche Wurzelterme, die entsprechenden Längen kannst du über eine Hilfskonstruktion aus r und c konstruieren.
Elementargeometrisch kannst du nutzen, dass c=(a-r)+(b-r) gilt. Ich hoffe, die beiiegende Skizze ist selbsterklärend.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Aus c=(a-r)+(b-r) folgt aber c+2r=a+b.
Es ist also eine Strecke der Länge a+b konstruierbar. Damit hätten wir
- eine Länge c
- eine Länge a+b
- und das Wissen, dass wir einen Teil der Strecke a+b an einer geeigneten Stelle (roter Punkt in der unteren Skizze) rechtwinklig umklappen mussen (gepunkteter Kreisbogen), damit c dazwischen passt. Das umgeklappte Ende bildet ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck, die blauen Winkel sind 45°.
Das abgebildete Gesamtdreieck ist aus c, a+b (erhalten aus c+2r) und 45° eindeutig konstruierbar. Von dieser Hilfsfigur trennst du das gleichschenklig-rechtwinklige Dreieck ab und hast das gesuchte Dreieck.
Gruß Abakus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Di 17.06.2008 | | Autor: | abakus |
> > Danke schonmal für die schnellen Antworten.
> > Der zweite Teil der Konstruktion ist uns schon klarer
> > geworden, allerding gibt es immer noch ein Problem mit dem
> > Umfangskreis.
> > Wenn wir ein rechteinkliges Dreieck haben, dann müsste
> > doch der Umkreis mit dem Thaleskreis übereinstimmen, oder
> > haben wir hier einen Denkfehler? Dann wäre doch auch der
> > Winkel automatisch gleich 180° und nicht gleich 135°.
> > Könntest du nochmal erklären, wie wir auf den Umkreis
> und
> > den Winkel von 135° kommen?
> > Vielen Dank schonmal und Grüße zurück!
>
> Hallo,
> du kannst die Aufgabe algebraisch lösen.
> Der Flächeninhalt des Dreiecks ist ab/2 oder aber auch
> r(a+b+c)/2.
> Das kannst du gleichsetzten und erhältst
> ab=ar+br+cr
> Außerdem gilt [mm]a^2+b^2=c^2,[/mm] damit hast du ein System mit 2
> Gleichungen und 2 Unbekannten a und b.
> Damit kannst du a und b berechnen. Dabei entstehen
> irgenwelche Wurzelterme, die entsprechenden Längen kannst
> du über eine Hilfskonstruktion aus r und c konstruieren.
>
> Elementargeometrisch kannst du nutzen, dass c=(a-r)+(b-r)
> gilt. Ich hoffe, die beiiegende Skizze ist
> selbsterklärend.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Aus c=(a-r)+(b-r) folgt aber c+2r=a+b.
> Es ist also eine Strecke der Länge a+b konstruierbar.
> Damit hätten wir
> - eine Länge c
> - eine Länge a+b
> - und das Wissen, dass wir einen Teil der Strecke a+b an
> einer geeigneten Stelle (roter Punkt in der unteren Skizze)
> rechtwinklig umklappen mussen (gepunkteter Kreisbogen),
> damit c dazwischen passt. Das umgeklappte Ende bildet ein
> gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck, die blauen Winkel
> sind 45°.
> Das abgebildete Gesamtdreieck ist aus c, a+b (erhalten aus
> c+2r) und 45° eindeutig konstruierbar. Von dieser
Hallo,
mir ist gerade aufgefallen, dass es doch nicht eindeutig ist. Da der Winkel gegeben ist, der der kleineren der beiden gegebenen Seiten gegenüberliegt, gibt es zwei Lösungen. Das ist allerdings nicht schlimm: in beiden entstehenden Hilfsdreiecken tauschen a und b nur ihre Plätze.
Gruß Abakus
> Hilfsfigur trennst du das gleichschenklig-rechtwinklige
> Dreieck ab und hast das gesuchte Dreieck.
> Gruß Abakus
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:23 Di 17.06.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Wenn wir ein rechteinkliges Dreieck haben, dann müsste
> doch der Umkreis mit dem Thaleskreis übereinstimmen, oder
Das tut er auch, aber die beiden brauchen wir hier nicht.
> haben wir hier einen Denkfehler? Dann wäre doch auch der
> Winkel automatisch gleich 180° und nicht gleich 135°.
> Könntest du nochmal erklären, wie wir auf den Umkreis und
> den Winkel von 135° kommen?
Die 135° ergeben sich aus der Tatsache, daß die beiden Winkel an c im rechtwinkligen Dreieck zusammen 90° haben. Dann haben sie in dem Hilfsdreieck zusammen 45°, weil die Schenkel die Winkelhalbierenden sind. wegen der Winkelsumme ist der Winkel an der Spitze 135°.
Wie nennt man bei euch denn den (Teil-)Kreis, von dem aus eine Strecke unter einem konstanten Winkel [mm] \alpha [/mm] erscheint? Den habe ich mit Faßkreis für [mm] \alpha [/mm] (oder Umfangswinkelkreis) bezeichnet.
Jetzt klarer? Ich denke, das Bild hilft sehr.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Di 17.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Hi!
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> > Wenn wir ein rechteinkliges Dreieck haben, dann müsste
> > doch der Umkreis mit dem Thaleskreis übereinstimmen, oder
>
> Das tut er auch, aber die beiden brauchen wir hier nicht.
>
> > haben wir hier einen Denkfehler? Dann wäre doch auch der
> > Winkel automatisch gleich 180° und nicht gleich 135°.
> > Könntest du nochmal erklären, wie wir auf den Umkreis
> und
> > den Winkel von 135° kommen?
>
> Die 135° ergeben sich aus der Tatsache, daß die beiden
> Winkel an c im rechtwinkligen Dreieck zusammen 90° haben.
> Dann haben sie in dem Hilfsdreieck zusammen 45°, weil die
> Schenkel die Winkelhalbierenden sind. wegen der Winkelsumme
> ist der Winkel an der Spitze 135°.
>
> Wie nennt man bei euch denn den (Teil-)Kreis, von dem aus
> eine Strecke unter einem konstanten Winkel [mm]\alpha[/mm]
> erscheint? Den habe ich mit Faßkreis für [mm]\alpha[/mm] (oder
> Umfangswinkelkreis) bezeichnet.
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> Jetzt klarer? Ich denke, das Bild hilft sehr.
> Gruß aus HH-Harburg
> Dieter
Das ist ja mal eine schöne Lösung!.
Gruß Abakus
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Jetzt können wir das Dreieck wirklich konstruieren.
Vielen Dank für all die Tipps und die schnellen Antworten!
Liebe Grüße
Dorothea und Cornelia
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