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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Dreiecksmatrix
Dreiecksmatrix < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Dreiecksmatrix: Ansatz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Mi 05.12.2012
Autor: rolo4

Aufgabe
Eine strikte obere Dreiecksmatrix ist eine n x n Matrix [mm] A=(a_{ij}) [/mm] mit [mm] a_{ij}=0 [/mm] für alle i [mm] \ge [/mm] j
Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit Unterräumen
[mm] V_{0}=(0) \subseteq V_{n}=V [/mm] mit [mm] dim(V_{i})=i [/mm]
Sei f: V-> V linear mit  [mm] f(V_{i}) \subseteq V_{i-1} [/mm] für alle i=1,...,n

Sei nun A eine strikte obere Dreiecksmatrix. Zeigen Sie, dass für [mm] V_{i}= [/mm] Span [mm] (e_{1},...,e_{i}) \subset K^{n} [/mm] gilt [mm] L_{A}(V_{i}) \subset V_{i-1} [/mm] und folgen Sie, dass [mm] A^{n}=0 [/mm] gilt


Im ersten Teil der Aufgabe haben wir bereits per Induktion gezeigt, dass [mm] f^{k}(V_{n}) [/mm] = f [mm] \circ [/mm] ... [mm] \circ f(V_{n}) \subset V_{n-k} [/mm] für k [mm] \le [/mm] n sodass [mm] f^{n} [/mm] = f [mm] \circ [/mm] ... [mm] \circ [/mm] f die 0-Abbildung ist

Kann ich damit argumentieren dass der [mm] span(A^{n}) [/mm] immer kleiner wird und dann für i=n 0 wird?

        
Bezug
Dreiecksmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:03 Mi 05.12.2012
Autor: fred97


> Eine strikte obere Dreiecksmatrix ist eine n x n Matrix
> [mm]A=(a_{ij})[/mm] mit [mm]a_{ij}=0[/mm] für alle i [mm]\ge[/mm] j
>  Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum mit Unterräumen
>  [mm]V_{0}=(0) \subseteq V_{n}=V[/mm] mit [mm]dim(V_{i})=i[/mm]
>  Sei f: V-> V linear mit  [mm]f(V_{i}) \subseteq V_{i-1}[/mm] für

> alle i=1,...,n
>  
> Sei nun A eine strikte obere Dreiecksmatrix. Zeigen Sie,
> dass für [mm]V_{i}=[/mm] Span [mm](e_{1},...,e_{n}) \subset K^{n}[/mm] gilt

1. Was sind den die [mm] e_{1},...,e_{n} [/mm]

2. An der Def. von [mm] V_i [/mm] ist was faul: so wie es da oben steht , sind alle [mm] V_i [/mm] gleich.

Ich vermute: [mm]V_{i}=[/mm] Span [mm][mm] (e_{1},...,e_{i}) [/mm]

Kläre also was die  [mm] e_{1},...,e_{n} [/mm] sind. Dann dürfte es nicht schwer sein die Inklusion

     $ [mm] L_{A}(V_{i}) \subset V_{i-1} [/mm] $

zu zeigen.

FRED


> [mm]L_{A}(V_{i}) \subset V_{i-1}[/mm] und folgen Sie, dass [mm]A^{n}=0[/mm]
> gilt
>  Im ersten Teil der Aufgabe haben wir bereits per Induktion
> gezeigt, dass [mm]f^{k}(V_{n})[/mm] = f [mm]\circ[/mm] ... [mm]\circ f(V_{n}) \subset V_{n-k}[/mm]
> für k [mm]\le[/mm] n sodass [mm]f^{n}[/mm] = f [mm]\circ[/mm] ... [mm]\circ[/mm] f die
> 0-Abbildung ist
>  
> Kann ich damit argumentieren dass der [mm]span(A^{n})[/mm] immer
> kleiner wird und dann für i=n 0 wird?


Bezug
                
Bezug
Dreiecksmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:13 Mi 05.12.2012
Autor: rolo4

[mm] e_{i} [/mm] sind die Basisvektoren der Standardbasis
Habe die Definition nochmal angeschaut- da dürfte alles korrekt abgetippt sein

Bezug
                        
Bezug
Dreiecksmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 Mi 05.12.2012
Autor: fred97


> [mm]e_{i}[/mm] sind die Basisvektoren der Standardbasis

O.K., das hätten wir geklärt.


>  Habe die Definition nochmal angeschaut- da dürfte alles
> korrekt abgetippt sein

Das

   $ [mm] V_{i}= [/mm] $ Span $ [mm] (e_{1},...,e_{n}) \subset K^{n} [/mm] $

aber wohl kaum.

FRED


Bezug
                                
Bezug
Dreiecksmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Mi 05.12.2012
Autor: rolo4

Entschuldigung, Index geht bis i und nicht bis n

Bezug
                                        
Bezug
Dreiecksmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Mi 05.12.2012
Autor: fred97


> Entschuldigung, Index geht bis i und nicht bis n

Dann mußt Du also zeigen:  $ [mm] L_{A}(V_{i}) \subset V_{i-1} [/mm] $

Leg los !

FRED


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