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| Aufgabe | Die jeweiligen [mm] \lambda [/mm] sind [mm] \in [/mm] K. [mm] n_1,...,n_t [/mm] sind natürliche Zahlen, wobei die Summe aller [mm] n_i=n [/mm] ist.
Man soll nun folgende quadratische Matrizen betrachten:
[mm] A=\begin{pmatrix}\lambda_{1} & & * & & & & & & & 0\\
& \ddots\\
0 & & \lambda_{1}\\
& & & \lambda_{2} & & *\\
& & & & \ddots\\
& & & 0 & & \lambda_{2} & & *\\
& & & & & & \ddots\\
& & & & & 0 & & \lambda_{t} & & *\\
& & & & & & & & \ddots\\
0 & & & & & & & 0 & & \lambda_{t}\end{pmatrix}\begin{array}{c}
\\\\n_{1}\\
\\\\\\n_{2}\\
\\\\\\n_{t}\\
\\\end{array}
[/mm]
[mm] \begin{array}{ccccccccccccccccccccc}
& & & & n_{1} & & & & & & & n_{2} & & & & & & & & n_{t}\end{array}
[/mm]
und die matrix B, die die gleich Gestalt hat, nur dass alle Hauptdiagonaleinträge gleich [mm] \lambda [/mm] sind.
Das sind also Matrizen mit [mm] (n_i \times n_i)-Bloecken, [/mm] die jeweils obere Dreiecksmatrizen sind mit jeweils konstanten Hauptdiagonal-Koeffizienten [mm] \lambda_i (\lambda [/mm] bei der Matrix B), alle übrigen Koeffizienten sind null.
Berechnen Sie:
(1) [mm] \overset{t}{\underset{i=1}{\prod}}(A-\lambda_{i}E_{n})^{n_{i}} [/mm] und (2) [mm] (B-\lambda E_{n})^{m} [/mm] wobei [mm] m=max_{i}n_{i} [/mm] |
Hallo,
ich hoffe, man kann erkennen, welche Gestalt A und B haben.
Ich komme bei der Berechnung allerdings garnicht voran. Bei (1) habe ich ein Problem mit dem Exponenten [mm] n_i. [/mm] Wie sieht denn da der nächste Schritt aus?
Ich weiß auch garnicht, wie ich das aufschreiben soll. Über einen Ansatz wäre ich dankbar.
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> Die jeweiligen [mm]\lambda[/mm] sind [mm]\in[/mm] K. [mm]n_1,...,n_t[/mm] sind
> natürliche Zahlen, wobei die Summe aller [mm]n_i=n[/mm] ist.
> Man soll nun folgende quadratische Matrizen betrachten:
>
>
>
> [mm]A=\begin{pmatrix}\lambda_{1} & & * & & & & & & & 0\\
& \ddots\\
0 & & \lambda_{1}\\
& & & \lambda_{2} & & *\\
& & & & \ddots\\
& & & 0 & & \lambda_{2} & & *\\
& & & & & & \ddots\\
& & & & & 0 & & \lambda_{t} & & *\\
& & & & & & & & \ddots\\
0 & & & & & & & 0 & & \lambda_{t}\end{pmatrix}\begin{array}{c}
\\\\n_{1}\\
\\\\\\n_{2}\\
\\\\\\n_{t}\\
\\\end{array}[/mm]
>
> [mm]\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}
& & & & n_{1} & & & & & & & n_{2} & & & & & & & & n_{t}\end{array}[/mm]
>
> und die matrix B, die die gleich Gestalt hat, nur dass alle
> Hauptdiagonaleinträge gleich [mm]\lambda[/mm] sind.
> Das sind also Matrizen mit [mm](n_i \times n_i)-Bloecken,[/mm] die
> jeweils obere Dreiecksmatrizen sind mit jeweils konstanten
> Hauptdiagonal-Koeffizienten [mm]\lambda_i (\lambda[/mm] bei der
> Matrix B), alle übrigen Koeffizienten sind null.
>
> Berechnen Sie:
> (1)
> [mm]\overset{t}{\underset{i=1}{\prod}}(A-\lambda_{i}E_{n})^{n_{i}}[/mm]
> und (2) [mm](B-\lambda E_{n})^{m}[/mm] wobei [mm]m=max_{i}n_{i}[/mm]
> Hallo,
>
> ich hoffe, man kann erkennen, welche Gestalt A und B
> haben.
Hallo,
nur die Diagonale besetzt, oder was ?
Für (1) ist es aber auch wurscht, was oben steht.
>
> Ich komme bei der Berechnung allerdings garnicht voran. Bei
> (1) habe ich ein Problem mit dem Exponenten [mm]n_i.[/mm] Wie sieht
> denn da der nächste Schritt aus?
> Ich weiß auch garnicht, wie ich das aufschreiben soll. Über
> einen Ansatz wäre ich dankbar.
Berechne das charakteristische Polynom der Matrix und erinnere Dich an Hamilton-Cayley.
>
>
Bei (2) ist mir nicht klar, was oberhalb der Hauptdiagonalen steht - und hier spielt es eine Rolle.
Ich prophezeie aber mal, daß Du mit dem Sinnieren über charakteristisches Polynom und Minimalpolynom auf einem guten Weg wärst.
Gruß v. Angela
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