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Hi,
ich habe schon wieder ein Ungleichungsproblem. Ich habe mit diesem Zeugs noch nie richtig was zu tun gehabt und der Prof. erklärt ja auch nichts.
Na ja wie dem auch sei....folgendes Problem:
Zeigen sie unter Ausnutzung der Dreieckungleichung:
Für alle x,y Element von:
[mm] \bruch {|x+y|} {|x+y|+1} \le \bruch {|x|+|y|} {|x|+|y|+1} [/mm]
Ich hoffe, dass es mit der Formeleingabe geklappt hat. Ich mach es ja schließlich zum ersten Mal.
Wenn nicht, dann entschuldige ich mich schon im Voraus
Also...ich hoffe das mir jemand helfen kann.
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Fr 15.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi Florian
sehr gut, dass du den formeleditor verwendest - es scheint ja auch alles geklappt zu haben.
ich gebe dir mal zwei möglichkeiten an. die elementarere:
multipliziere die gleichung mit den beiden nennern, also mit [m] (|x+y|+1)(|x|+|y|+1) > 0 [/m] und schaue dabei, was sich heraushebt. du wirst sehen, das hat eine ganz einfache form. die rechnung wird dann sehr viel schöner, wenn du sie quasi von hinten aufzeihst, also mit [m] |x+y| \leq |x|+|y| [/m] beginnst und dann mit geeigenten ausdrüchen multiplizierst.
die andere möglichkeit:
zeige, dass die funktion [m] f : [0, \infty[ \longrightarrow \mathbb{R}, \; x \longmapsto \frac{x}{1+x} [/m] nonoton wachsend ist (das geht entweder über die ableitung oder direkt mit der definition). damit bist du dann quasi auch schon fertig. überlege dir mal warum.
wenn du nicht weiterkommst oder noch fragen hast, kannst du dich ja nochmal melden.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:14 Fr 15.10.2004 | | Autor: | Thomie |
Und wenn du irgendwann mal Probleme mi Beträgen hast, gibt es da (z.B. in Klausuren) immer noch die alte, allerdings zeitaufwändige Methode der Fallunterscheidungen (jedenfalls bei reellen Zahlen).
in diesem Fall also:
1. Fall: x<0, y<0
2. Fall: x<0, y>0
....
Du darfst nur die Überprüfung für die 0 nicht vergessen, aber das ist nur eine Formalität
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Okay....,
die Fallunterscheidung scheint mir plausibel,aber der Rechenweg " von hinten aufziehen" ist für mich unverständlich.
Kannst du das noch mal näher erläutern, Andreas?
Das wäre super nett.
Danke schön
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Fr 15.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
im prinzip ist es ja tatsächlich egal, wie man es rechnet, da hier nur äquivalenzumformungen stattfinden, meinem ästetik empfinden entspricht es aber eher, wenn man [m] \text{wahre aussage} \; \Longrightarrow \; \text{zu beweisende aussage} [/m] dastehen hat, als das, was bei dir jetzt wohl dasteht: [m] \text{zu beweisende aussage} \; \Longleftrightarrow \; \text{wahre aussage} [/m]. aber wie gesagt: das zweite ist natürlich auch vollkommen richtig!
ich habe mir das dann eben so gedacht:
nach der dreiecksunglichung gilt:
[m] \begin{array}{rclll}
|x+y|& \leq & |x|+|y| & \hspace{1.0cm} & | + |x||x + y| + |y||x+y| \\
|x+y| + |x||x+y| + |y||x+y| & \leq & |x| + |x||x+y| + |y| + |y||x+y| \\
|x+y|(1 + |x| + |y|) & \leq & (|x|+|y|)(1 + |x+y|) & & | \cdot \frac{1}{1 + |x| + |y|}\frac{1}{1 + |x+y|} \hspace{0.3cm} (> 0) \\
\dfrac {|x+y|} {|x+y|+1} & \leq & \dfrac {|x|+|y|} {|x|+|y|+1}
\end{array} [/m]
wobei hier natürlich zwischen allen zeilen äquivalenzen und nicht nur implikationen gelten.
grüße
andreas
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