www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-Sonstiges"Dreiecksungleichung"
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - "Dreiecksungleichung"
"Dreiecksungleichung" < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

"Dreiecksungleichung": Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:45 Fr 25.07.2008
Autor: Riley

Aufgabe
f(x) := [mm] \begin{cases} \infty, & \mbox{für } x \in (-\infty,0] \\ \frac{1}{x}, & \mbox{für } x \in (0,1] \\ x, & \mbox{für } x \in (1,\infty) \end{cases} [/mm]

Hallo,
für diese Funktion soll gelten, dass f(x+y) [mm] \leq [/mm] f(x) + f(y) gilt. Also kann man das einfach so einsehen, dass für x+y [mm] \in (1,\infty) [/mm] gilt f(x+y) = x+y [mm] \leq [/mm] x+y.
Für x+y [mm] \in (-\infty,0] [/mm] ist es sowieso [mm] \infty [/mm] und für x+y [mm] \in [/mm] (0,1]:
f(x+y) = [mm] \frac{1}{x+y} [/mm] , nur warum ist das kleiner gleich [mm] \frac{1}{x}+\frac{1}{y}? [/mm]
Wär super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte...

Viele Grüße,
Riley

        
Bezug
"Dreiecksungleichung": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:06 Fr 25.07.2008
Autor: angela.h.b.


> f(x) := [mm]\begin{cases} \infty, & \mbox{für } x \in (-\infty,0] \\ \frac{1}{x}, & \mbox{für } x \in (0,1] \\ x, & \mbox{für } x \in (1,\infty) \end{cases}[/mm]
>  
> Hallo,
>  für diese Funktion soll gelten, dass f(x+y) [mm]\leq[/mm] f(x) +
> f(y) gilt.

> und für x+y
> [mm]\in[/mm] (0,1]:
>  f(x+y) = [mm]\frac{1}{x+y}[/mm] , nur warum ist das kleiner gleich
> [mm]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}?[/mm]

Hallo,

Du sollst zeigen, daß [mm] f(x+y)\le [/mm] f(x)+f(y) gilt.

Wenn nun [mm] x+y\in [/mm] (0,1] liegt, heißt das ja noch lange nicht, daß x und y beide diesem Intervall entstammen.

Betrachte z.B. x=-5,  y=5.5.


Daß die x,y auch negativ sein können, vergißt Du auch bei der Betrachtung von [mm] x+y\in (1,\infty). [/mm]

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
"Dreiecksungleichung": Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:47 Fr 25.07.2008
Autor: Riley

Hi Angela,
ops, danke für deine Hinweise. Ich habe nun mal die ganzen Fälle aufgeschrieben:
1.
a) x [mm] \in (-\infty,0], [/mm] y [mm] \in(-\infty,0] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in (-\infty,0] [/mm]
b) x [mm] \in (-\infty,0], [/mm] y [mm] \in(0,1] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in (-\infty,1] [/mm]
c) x [mm] \in (-\infty,0], [/mm] y [mm] \in(1,\infty) \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in (-\infty, \infty) [/mm]

2.
a) x [mm] \in [/mm] (0,1], y [mm] \in(-\infty,0) \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in (-\infty,1] [/mm]
b) x [mm] \in [/mm] (0,1], y [mm] \in(0,1] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] (0,2]
c) x [mm] \in [/mm] (0,1], y [mm] \in(1,\infty) \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in (1,\infty) [/mm]

3.
a) x [mm] \in (1,\infty), [/mm] y [mm] \in (-\infty,0) \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in (-\infty, \infty) [/mm]
b) x [mm] \in (1,\infty), [/mm] y [mm] \in [/mm] (0,1] [mm] \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] (1, [mm] \infty) [/mm]
c) x [mm] \in (1,\infty), [/mm] y [mm] \in (1,\infty) \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in [/mm] (2, [mm] \infty) [/mm]

D.h. ich muss so alles durchprobieren ?
Bei 1.)  ist ja f(x) = [mm] \infty [/mm] und somit f(x) + f(y) = [mm] \infty, [/mm] d.h. es gilt auch immer f(x+y) [mm] \leq [/mm] f(x) + f(y).

Bei 2. haben wir f(x) = [mm] \frac{1}{x}. [/mm]
2a) ist ok, da f(y) = [mm] \infty, [/mm] also f(x)+f(y) = [mm] \infty \geq [/mm] f(x+y).

2b) f(x+y) = [mm] \begin{cases} \frac{1}{x+y}, & \mbox{für } x+y \in (0,1] \\ x+y, & \mbox{für } x+y \in (1,2] \end{cases} [/mm]

D.h. hier stoß ich wieder auf mein Problem. Z.z. [mm] \frac{1}{x+y} \leq \frac{1}{x} [/mm] + [mm] \frac{1}{y} [/mm] falls x+y [mm] \in(0,1] [/mm] und x+y [mm] \leq \frac{1}{x} [/mm] + [mm] \frac{1}{y} [/mm] für x+y [mm] \in [/mm] (1,2].
Achso, ich glaub ich seh es, es gilt ja dann  x+y [mm] \in [/mm] (1,2] bzw. x+y  [mm] \in(0,1] [/mm] und x,y [mm] \in [/mm] (0,1] und dann stimmen die Ungleichungen. Nur wie schreibt man das "schön" auf?
Also gibt es hier auch einen schnelleren Weg das einzusehen ohne die ganzen Fallunterscheidungen?

Vielen Dank für deine Hilfe!

Viele Grüße,
Riley


edit: fehler verbessert

Bezug
                        
Bezug
"Dreiecksungleichung": Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Fr 25.07.2008
Autor: Leopold_Gast

Du kannst Fälle zusammenfassen und triviale Fälle vorweg behandeln, dann wird es übersichtlicher.

Wenn [mm]x \leq 0[/mm] oder [mm]y \leq 0[/mm] ist, dann ist die rechte Seite der Ungleichung [mm]\infty[/mm], die Ungleichung also trivialerweise wahr. Man darf daher für das Weitere

[mm]x>0 \ \ \text{und} \ \ y>0[/mm]

annehmen.


1. Sind [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] beide größer [mm]1[/mm], so ist auch [mm]x+y > 1[/mm], und die Ungleichung ist wegen [mm]x+y \leq x+y[/mm] erfüllt.


2. Liegen die beiden Größen [mm]x,y[/mm] auf verschiedenen Seiten der [mm]1[/mm], etwa [mm]x>1[/mm] und [mm]y \leq 1[/mm], dann lautet die zu beweisende Ungleichung, da auch [mm]x+y > 1[/mm] ist,

x+y [mm] \leq [/mm] x + [mm] \frac{1}{y} [/mm]

Und das ist äquivalent zu [mm]y \leq \frac{1}{y}[/mm], was für [mm]0 < y \leq 1[/mm] wahr ist.


3. Jetzt bleibt nur noch der Fall, daß [mm]x,y[/mm] beide Element von [mm](0,1][/mm] sind.

a) Falls auch noch [mm]x+y \in (0,1][/mm] ist, dann folgt, da [mm]f[/mm] in [mm](0,1][/mm] streng monoton fällt und positiv ist, sofort

[mm]f(x+y) < f(x) < f(x) + f(y)[/mm]

b) Ist dagegen [mm]x+y > 1[/mm], so ist

[mm]x+y \leq \frac{1}{x} + \frac{1}{y}[/mm]

nachzuweisen. Das ist aber äquivalent zu [mm]x+y \leq \frac{x+y}{xy}[/mm] und damit zu [mm]xy \leq 1[/mm]. Das ist aber für [mm]x,y \in (0,1][/mm] wahr.

Bezug
                                
Bezug
"Dreiecksungleichung": danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:22 Fr 25.07.2008
Autor: Riley

Hi,
super, vielen Dank für deine Antwort!
Viele Grüße,
Riley

Bezug
        
Bezug
"Dreiecksungleichung": Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:24 Fr 25.07.2008
Autor: Riley

Hallo,
ich hab nochmal eine Frage zu dieser Funktion. f ist ja konvex.
Wenn man nun betrachtet
[mm] F(x):=\max_{i=1,...,n} f(x_i), [/mm] mit [mm] x=(x_1,...,x_n)^T\in\IR^n. [/mm]

Das punktweise Maximum von konvexen Funktionen ist ja wieder konvex.
Warum kann man dann nicht einfach so begründen, dass F(x) wieder konvex ist?
Für was macht es Sinn das so umzuschreiben:
[mm] F(x)=\max_{i=1,...,n}f() [/mm] ? [mm] (e_k [/mm] ist der k.te Einheitsvektor.)

Viele Grüße,
Riley

Bezug
                
Bezug
"Dreiecksungleichung": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:28 Fr 25.07.2008
Autor: fred97


> Hallo,
>  ich hab nochmal eine Frage zu dieser Funktion. f ist ja
> konvex.
>  Wenn man nun betrachtet
>  F(x) := [mm]max_{i=1,...,n} q(x_i),[/mm] mit [mm]x=(x_1,...,x_n)^T \in \IR^n.[/mm]

Was ist q ?


>  
> Das punktweise Maximum von konvexen Funktionen ist ja
> wieder konvex.
>  Warum kann man dann nicht einfach so begründen, dass F(x)
> wieder konvex ist?
>  Für was macht es Sinn das so umzuschreiben:
>  F(x) = [mm]max_{i=1,...,n} q()[/mm] ? [mm](e_k[/mm] ist der k.te
> Einheitsvektor.)
>  
> Viele Grüße,
>  Riley


FRED

Bezug
                        
Bezug
"Dreiecksungleichung": Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:49 Fr 25.07.2008
Autor: Riley

sorry, Tippfehler, nicht q sondern f (ich verbessere es gleich). Damit ist die Funktion gemeint, die ich im ersten Post aufgeschrieben habe.

Bezug
                
Bezug
"Dreiecksungleichung": Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 29.07.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]