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| Aufgabe | | Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf von n 10-seitigen Würfeln mindestens drei gleiche Ergebnisse (mindestens einen Dreierpasch) zu bekommen? |
Meine momentane Vermutung:
Man addiert die Anzahl der möglichen Dreierpaschs, Viererpaschs etc und subtrahiert davon die Anzahl der Dreierpaschs, Viererpaschs etc, die unter den dabei nicht betrachteten Würfeln vorkommen.
Zur Errechnung der Wahrscheinlichkeit teilt man diese Anzahl dann durch [mm] 10^n.
[/mm]
Meine Formel zur Errechnung der 'günstigen' Möglichkeiten bisher:
[mm] \summe_{i=3}^{n} 10*9^{n-i}*\vektor{n\\ i} [/mm] - [mm] \summe_{j=1}^{n-3} 9*8^{n-3-j}*\vektor{n-3 \\ j} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n-6} 8*7^{n-6-k}*\vektor{n-6 \\ k}...
[/mm]
Nun ist dies erstens nicht schön, und berücksichtigt zweitens auch noch nicht die Mehrlinge, die bei den nicht betrachteten Würfeln der weiteren Summanden der ersten Summenformel vorkommen (also bei den Summanden, die die Anzahl der Vierlinge etc betrachten).
Wie könnte man das noch einbinden? Und: gibt es eine insgesamt elegantere Lösung??
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Falls es weiterhilft:
Hier meine bisherigen Überlegungen im Detail:
Für 1 und 2 Würfel: nicht möglich.
Für 3 Würfel: [mm] \bruch{10*1*1}{10^3}=0.01
[/mm]
Für 4 Würfel: [mm] \bruch{10*1*1*9*\vektor{4 \\3}+ 10*1*1*1 }{10^4}=0.037
[/mm]
(Dreierpasch, 1 Würfel zeigt andere Zahl und Viererpasch)
Für 5 Würfel: [mm] \bruch{10*1*1*9^2*\vektor{5 \\3}+ 10*1*1*1*9*\vektor{5 \\4} + 10*1*1*1*1}{10^5}=0.0851 [/mm]
(Dreierpasch mit 2 anderen Würfeln und Viererpasch mit einem anderen Würfel und Fuenferpasch)
Für 6 Würfel: [mm] \bruch{10*9^3*\vektor{6 \\3}+10*9^2*\vektor{6 \\4}+ 10*9*\vektor{6 \\5}+10-9}{10^6}=0.158491
[/mm]
(Dreierpasch diesmal mit 3 anderen Würfeln; deshalb gibt es 9 Möglichkeiten, daß diese 3 anderen Würfel einen weiteren Pasch zeigen. Diese müssen von der Gesamtzahl abgezogen werden)
Für 7 Würfel:
(Der leichteren Lesbarkeit wegen diesmal nur der Zähler)
[mm] 10*9^4*\vektor{7 \\3}+10*9^3*\vektor{7 \\4}+10*9^2*\vektor{7 \\5}+10*9*\vektor{7 \\6}+10-(9*8*\vektor{4 \\3}+9+9) [/mm]
Hier sind beim Dreierpasch nun 4 Würfel übrig, die Dreierpaschs oder Viererpasch bilden können; beim Viererpasch sind noch 3 Würfel übrig, die einen Dreierpasch bilden können; das muß subtrahiert werden. Und letzteres stellt meine oben entwicklete Formel schon nicht mehr dar...
Stimmen die Überlegungen bisher?
Wie lassen sich die Überlegungen zu 7 Würfeln systematisch in die Formel oben einbauen? Und: Gibt es nicht eine einfachere Lösung??
Nochmal danke!
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Hi, Huckleberry,
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf von n
> 10-seitigen Würfeln mindestens drei gleiche Ergebnisse
> (mindestens einen Dreierpasch) zu bekommen?
> Meine momentane Vermutung:
>
> Man addiert die Anzahl der möglichen Dreierpaschs,
> Viererpaschs etc und subtrahiert davon die Anzahl der
> Dreierpaschs, Viererpaschs etc, die unter den dabei nicht
> betrachteten Würfeln vorkommen.
> Zur Errechnung der Wahrscheinlichkeit teilt man diese
> Anzahl dann durch [mm]10^n.[/mm]
Ich würde das Ganze eher über das Gegenereignis angehen!
Das n [mm] \ge [/mm] 3 sein muss, hast Du in Deiner neuen Mitteilung ja schon angemerkt.
Was ist nun also das Gegenereignis zu "mindestens ein Dreierpasch"?
a) Entweder sind alle gewürfelten Zahlen verschieden
oder
b) es gibt höchstens Zahlenpärchen.
Probier's mal über diese Idee!
mfG!
Zwerglein
a)
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Hier also mein Versuch über die Gegenwahrscheinlichkeit:
Gesucht ist damit die Anzahl der Möglichkeiten, mit n 10-seitigen Würfeln nicht mehr als 2 gleiche Zahlen zu würfeln, also entweder lauter verschiedene Zahlen, oder ein Pärchen, oder zwei Pärchen ... oder n/2 Pärchen.
Die Anzahl der 'ungünstigen' Möglichkeiten ist damit meiner Ansicht nach:
[mm] \summe_{j=0}^{n/2} [\produkt_{i=0}^{j-1} (10-i)*\vektor{n-2*i \\ 2}] \bruch{(10-j)!}{((10-j)-(n-2*j))!}
[/mm]
Das Produkt sollte jeweils die Anzahl für 0, 1, zwei, etc. Pärchen liefern (also für j=3: 3 Pärchen: [mm] 10*\vektor{n\\ 2}*9*\vektor{n-2\\ 2}*8*\vektor{n-4\\ 2}*\bruch{7!}{(7-(n-6))!}
[/mm]
Stimmt das? Stimmt das auch für eine ungerade Anzahl von Würfeln?
EDIT: Fehler verbessert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 30.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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