Dreifachintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:35 Fr 25.05.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | | Man berechne [mm] \integral\integral\integral_{B}^{ }{\wurzel{x^{2}+y^{2}} dv}, [/mm] wobei B den räumlichen Bereich bezeichnet, der innerhalb der Sphäre [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] = 1 und innerhalb des Kegels z = [mm] \wurzel{x^2+y^2} [/mm] liegt! Verwenden Sie dazu eine Transformation in Kugelkoordinaten [mm] (r,\nu, \delta) [/mm] ! |
Hallo und guten Abend!
Ich bin gerade in Vorbereitung auf meine Mathe-Klausur, habe das Kapitel über die MehrfachIntegrale auch schon so weit durch, lediglich bei dieser Aufgabe habe ich div. Probleme:
a) Transformation des Integranden auf Kugelkoordinaten:
[mm] \wurzel{x^2+y^2} \mapsto r*sin(\delta)
[/mm]
b) Transformation der Sphäre auf Kugelkoordinaten:
[mm] x^2+y^2+z^2=1 \mapsto r^2 [/mm] = 1
c) Transformation des Kegels auf Kugelkoordinaten:
z = [mm] \wurzel{x^2+y^2} \mapsto [/mm] z = [mm] r*sin(\delta)
[/mm]
d) Festlegung der Grenzen für r:
Durch gleichsetzen der Kegelgleichung mit der Sphärengleichung erhalte ich die Gleichung [mm] x^2+y^2=\bruch{1}{2}, [/mm] was einem Kreis mit Radius r = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] entspricht [mm] \to [/mm] 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le \bruch{1}{\wurzel{2}}.
[/mm]
e) Festlegung der Grenzen für [mm] \nu:
[/mm]
Da es sich bei der Sphäre um eine Vollkugel handelt: [mm] \to [/mm] 0 [mm] \le \nu \le 2*\pi.
[/mm]
f) Festlegung der Grenzen für [mm] \delta:
[/mm]
Da der Kegel z = [mm] \wurzel{x^2+y^2} \mapsto [/mm] z = [mm] r*sin(\delta) [/mm] wird, und z = [mm] r*cos(\delta) [/mm] gilt, erhalte ich nach gleichsetzen: [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{4} \to [/mm] 0 [mm] \le \delta \le \bruch{\pi}{4}
[/mm]
Wegen der Koordinatentransformation wird aus dV = dx dy dz [mm] \mapsto r^2*sin(\delta).
[/mm]
Somit hätte ich :
[mm] \integral_{r=0}^{\bruch{1}{\wurzel{2}}} \integral_{\nu=0}^{2*\pi} \integral_{\delta=0}^{\bruch{\pi}{4}}{r^2*sin(\delta)*r*sin(\delta) d \delta d \nu d r }
[/mm]
Wenn ich das Integral nun in den angegebenen Grenzen berechne erhalte ich als Ergebnis: I = [mm] \bruch{\pi*(\pi-2)}{64} [/mm] - lt. Lösung sollte das Integral I = [mm] \bruch{\pi*(\pi-2)}{16} [/mm] ergeben.
Leider habe ich auch nach 2 Stunden bei diesem Beispiel keinen Fehler entdecken können bzw. herausgefunden, wo der Faktor 4 stecken oder besser gesagt verschwunden sein könnte!!! :-( Bitte um eure Hilfe!!!!!
Vielen vielen Dank!
Lg
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Hallo mike1988,
> Man berechne [mm]\integral\integral\integral_{B}^{ }{\wurzel{x^{2}+y^{2}} dv},[/mm]
> wobei B den räumlichen Bereich bezeichnet, der innerhalb
> der Sphäre [mm]x^2+y^2+z^2[/mm] = 1 und innerhalb des Kegels z =
> [mm]\wurzel{x^2+y^2}[/mm] liegt!
> Verwenden Sie dazu eine Transformation in Kugelkoordinaten [mm](r,\nu, \delta)[/mm] !
> Hallo und guten Abend!
>
> Ich bin gerade in Vorbereitung auf meine Mathe-Klausur,
> habe das Kapitel über die MehrfachIntegrale auch schon so
> weit durch, lediglich bei dieser Aufgabe habe ich div.
> Probleme:
>
> a) Transformation des Integranden auf Kugelkoordinaten:
>
> [mm]\wurzel{x^2+y^2} \mapsto r*sin(\delta)[/mm]
>
> b) Transformation der Sphäre auf Kugelkoordinaten:
>
> [mm]x^2+y^2+z^2=1 \mapsto r^2[/mm] = 1
>
> c) Transformation des Kegels auf Kugelkoordinaten:
>
> z = [mm]\wurzel{x^2+y^2} \mapsto[/mm] z = [mm]r*sin(\delta)[/mm]
>
> d) Festlegung der Grenzen für r:
>
> Durch gleichsetzen der Kegelgleichung mit der
> Sphärengleichung erhalte ich die Gleichung
> [mm]x^2+y^2=\bruch{1}{2},[/mm] was einem Kreis mit Radius r =
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] entspricht [mm]\to[/mm] 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le \bruch{1}{\wurzel{2}}.[/mm]
>
> e) Festlegung der Grenzen für [mm]\nu:[/mm]
>
> Da es sich bei der Sphäre um eine Vollkugel handelt: [mm]\to[/mm] 0
> [mm]\le \nu \le 2*\pi.[/mm]
>
> f) Festlegung der Grenzen für [mm]\delta:[/mm]
>
> Da der Kegel z = [mm]\wurzel{x^2+y^2} \mapsto[/mm] z =
> [mm]r*sin(\delta)[/mm] wird, und z = [mm]r*cos(\delta)[/mm] gilt, erhalte ich
> nach gleichsetzen: [mm]\delta[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{4} \to[/mm] 0 [mm]\le \delta \le \bruch{\pi}{4}[/mm]
>
> Wegen der Koordinatentransformation wird aus dV = dx dy dz
> [mm]\mapsto r^2*sin(\delta).[/mm]
>
> Somit hätte ich :
>
> [mm]\integral_{r=0}^{\bruch{1}{\wurzel{2}}} \integral_{\nu=0}^{2*\pi} \integral_{\delta=0}^{\bruch{\pi}{4}}{r^2*sin(\delta)*r*sin(\delta) d \delta d \nu d r }[/mm]
Wenn ich es richtig sehe, ist die zugrundeliegende Parametrisierung
[mm] (r,\delta, \nu)\mapsto r(\sin\delta\cos\nu, \sin\delta\sin\nu,\cos\delta).
[/mm]
Dann stimmt aber irgendwas mit dem Parameterbereich noch nicht.
Die Menge B setzt sich aus dem auf der Spitze stehenden Kegel (bis [mm] z=\red{1/\sqrt{2}}) [/mm] und einem aufgesetzten Kugelsegment [mm] (1\ge z>\red{1/\sqrt{2}}) [/mm] zusammen.
Wenn Du da noch einmal drübersiehst, wirst Du sicherlich weiterkommen.
EDIT: rot.
LG
>
> Wenn ich das Integral nun in den angegebenen Grenzen
> berechne erhalte ich als Ergebnis: I =
> [mm]\bruch{\pi*(\pi-2)}{64}[/mm] - lt. Lösung sollte das Integral I
> = [mm]\bruch{\pi*(\pi-2)}{16}[/mm] ergeben.
>
> Leider habe ich auch nach 2 Stunden bei diesem Beispiel
> keinen Fehler entdecken können bzw. herausgefunden, wo der
> Faktor 4 stecken oder besser gesagt verschwunden sein
> könnte!!! :-( Bitte um eure Hilfe!!!!!
>
> Vielen vielen Dank!
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> Lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Fr 25.05.2012 | | Autor: | mike1988 |
Hallo!
Vielen Dank für diese schnelle Anwort!
Leider komme ich trotzdem auf keinen grünen Zweig!
Könntest du mir nochmals eine Hilfestellung geben??
Und sollte die Grenze für z nicht eigentlich [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] sein, anstatt wie du meinst, [mm] \bruch{1}{2}???
[/mm]
DANKE!
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Hallo,
> Und sollte die Grenze für z nicht eigentlich
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm] sein, anstatt wie du meinst,
> [mm]\bruch{1}{2}???[/mm]
Ja, da behältst Du Recht. 
Wenn Du B skizzierst siehst Du insbesondere, dass [mm] 0\le r\le1 [/mm] zulässig ist.
Wenn Du diese neue Grenzen für r einsetzt kommst Du auf das gewünschte Ergebnis.
LG
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>
> DANKE!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Sa 26.05.2012 | | Autor: | chrisno |
Der Intgrationsbereich muss beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen:
innerhalb des Kegels und innerhalb der Kugel. Innerhalb der Kugel bedeutet $0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1$
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