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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:29 Sa 26.05.2012 | | Autor: | mike1988 |
| Aufgabe | | Man bestimme das Volumen des räumlichen Bereichs, der innerhalb der Sphäre [mm] x^2+y^2+z^2=4*z [/mm] und über dem Kegel [mm] x^2+y^2=z^2 [/mm] liegt! (Zylinderkoordinaten!) |
Hallo und guten Morgen!
Auch bei diesem Beispiel habe ich so meine Schwierigkeiten:
Ich habe diesen Körper in 2 Abschnitte unterteilt:
![[]](/images/popup.gif) [Externes Bild http://img5.fotos-hochladen.net/thumbnail/ddd5n8ohkjle0_thumb.jpg]
1) Obere Hälfte der Kugel
2) unterer Kegel
Für die obere Halbkugel habe ich folgende Grenzen ermittelt:
0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2
0 [mm] \le \nu \le 2*\pi
[/mm]
2 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] 2+ [mm] \wurzel{4-r^2}
[/mm]
Als Ergebnis erhalte ich ein Volumen von [mm] \bruch{16*\pi}{3} [/mm] .... das sollte noch passen!
Für den unteren Kegel habe ich folgende Grenzen ermittelt:
0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2
0 [mm] \le \nu \le 2*\pi
[/mm]
0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] r
Als Ergebnis erhalte ich ein Volumen von [mm] \bruch{16*\pi}{3} [/mm] .... und da liegt meiner Meinung nach der Fehler!?!?! Das Volumen sollte doch eher [mm] \bruch{8*\pi}{3} [/mm] oder?? Ich finde allerdings keinen Fehler!! :-(
Als Gesamtergebniss lt. Lösung sollten 8 * [mm] \pi [/mm] heraus kommen, was auch der Fall wäre, wenn ich beim Kegel ein Volumen von [mm] \bruch{8*\pi}{3} [/mm] erhalten würde!!
Könnte mir jemand einen Hinweis geben, mit welchen Grenzen ich das VOlumen des Kegels berechnen kann, bzw, ob der Rest der Rechnung so in Ordnung ist???
Vielen Dank!!
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Der Winkel variiert jeweils im Intervall [mm][0,2\pi][/mm].
Die richtigen Grenzen für [mm]r,z[/mm] sind, wenn man mit der Integration über [mm]z[/mm] beginnt:
- bei der Halbkugel: [mm]2 \leq z \leq 4 \, , \ \ 0 \leq r \leq \sqrt{4z - z^2}[/mm]
- beim Kegel: [mm]0 \leq z \leq 2 \, , \ \ 0 \leq r \leq z[/mm]
Wenn man mit der Integration über [mm]r[/mm] beginnt, sind die Grenzen
- bei der Halbkugel: [mm]0 \leq r \leq 2 \, , \ \ 0 \leq z \leq 2 + \sqrt{4 - r^2}[/mm]
- beim Kegel: [mm]0 \leq r \leq 2 \, , \ \ r \leq z \leq 2[/mm]
Die erste Methode scheint mir die einfachere.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Sa 26.05.2012 | | Autor: | mike1988 |
SPitze, vielen vielen Dank!!
Lg
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![[]](http://www.fotos-hochladen.net/view/ddd5n8ohkjle0.png){kind=small}
[Externes Bild http://img5.fotos-hochladen.net/thumbnail/ddd5n8ohkjle0_thumb.jpg]
