Dreikantsäule als Würfel < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folgende Aufgabe wollte ich mit meiner Nachhilfeschülerin(LK 13) bearbeiten, bin aber nicht über Aufgabe a) hinausgekommen:
Die 5 Seitenflächen der Dreikantsäule (Prisma mit Dreieck als Grundfläche) sind von 1 bis 5 durchnummeriert. Die größte Rechtecksfläche mit 1, die beiden rechtwinklig-gleichschenkligen Dreiecke mit 2 und drei und die kleinen Rechtecke mit 4 und 5. Man wirft die Säule und notiert als Ergebnis die Zahl auf der Fläche, die unten liegt. Es gelten folgende Wahrscheinlichkeiten: P(1) = 36%, P(2) = P(3) = 18%, P(4) = P(5) = 14%
b) Bei einem Schulfest wird ein Spiel mit der Dreikantsäule angeboten. Für den Einsatz von 0,50€ gibt es folgende Gewinne: Wirft man 1, geht der Einsatz verloren. Wirft man 2 oder 3 erhält man die Hälfte des Einsatzes zurück. Bei 4 oder 5 erhält man den eineinhalbfachen Einsatz zurück. Der nicht an Gewinnen ausgezahlte Betrag soll in die Klassenkasse eingezahlt werden. Welchen Betrag kann man erwarten, wenn 30 Kinder sich mit je 1€ Einsatz beteiligen?
c) Beim Spiel mit dem Würfel fällt auf, dass die beiden Dreiecksseiten unterschiedlich oft unten liegen. Man zählt bi 150 WÜrfen 31mal die Zahl 2 und 17mal die Zahl 3. Sind die relativen Häufigkeiten und die Wahrscheinlichkeiten noch verträglich? In welchen Sigma-Umgebungen liegen die Häufigkeiten? Beurteilen Sie die Situation. |
bei aufgabe b) komme ich nicht auf den Ansatz, ich habe ein Diagramm gezeichnet, aber das geht ja ins unendliche, wenn man davon ausgeht -so verstehe ich die Aufgabe- das der Gewinn auch wieder eingesetzt wird. Oder denke ich da zu kompliziert?
c) die relativen Häufigkeiten sind für 2 31/150 = 0,20666... und für 3 17/150 = 0,11333.... Für beide waren ja 0,18 vorgegeben, d.h. im Experiment weicht P(2) um ca. 0,028 und P(3) um 0,067 ab, kann man das so sagen?
Jetzt habe Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung ausgerechnet, bin mir aber noch ein bisschen unsicher, weil ich mich gerade erst in das Thema eingearbeitet habe.
Meine Zufallsvariable ist ja [mm] X:Omega\to [/mm] {0,14; 0,18; 0,36} mit Omega {1,2,3,4,5} = [mm] {x_{i} | i \in {1,2,...,5}}
[/mm]
und [mm] \mu [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{5}x_{i}*P(X=x_{i} [/mm] = 2,52
Dann ist Var(X) = [mm] E((X-\mu)²) [/mm] = 2,0896 und sigma(X) [mm] \approx [/mm] 1,4455
Richtig? Dann habe ich festgestellt, dass die Abweichungen im Intervall [mm] [\mu-2*sigma;\mu+2*sigma] [/mm] = [-0,37...;5,41] liegen und dass dies das kleinste Intervall ist, für dass das zutrifft. Aber weil ich mir schon bei der Zufallsvariablen nicht sicher war, weiß ich's hier auch nicht genau.
LG Julia
P.S.: Ist was lang geworden, danke dass du bis hierhin durchgehalten hast!
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Hallo,
ich denke Aufgabe b) kann man einfach mit dem Erwartungswert ausrechnen.
Dazu könnte man zunächst den im Mittel erwarteten Gewinn bei einem Spiel ausrechnen. Das wäre
0*0,36+0,25*0,18+0,25*0,18+0,75*0,14+0,75*0,14=0,3
Hier habe ich einfach den Gewinn mit der entsprechenden Wkeit hierfür multipliziert und alles addiert. Pro Spiel gewinnt man also 0,30 bei einem Einsatz von 0,50, d.h. es gehen 0,20 in die Klassenkasse. Bei 60 Spielen wären das dann 12.
Bei Aufgabe c) soll man ja zunächst sagen, ob die relativen Häufigkeiten und die Wkeiten verträglich sind. Sie sind verträglich, wenn die relativen Hkeiten im Intervall [mm] [p-1,96\bruch{\sigma}{n};p+1,96\bruch{\sigma}{n}] [/mm] liegen. 95% der Ergebnisse sollten in dem Intervall liegen. Das kannst du dann jetzt mal ausrechnen...(einmal ist es verträglich, einmal nicht :)).
Deine Berechnungen der Standardabweichung und des Erwartungswertes kann ich nicht nachvollziehen (was erstmal noch nichts heißen mag :)). Ich denke man kann Aufgabenteil c) als Bernoulliversuch sehen. Dabei hat man die Erfolgswkeit von p=0,18. Für den Erwartungswert [mm] \mu [/mm] gilt:
[mm] \mu=n*p
[/mm]
Für die Standardabweichung [mm] \sigma [/mm] gilt:
[mm] \sigma=\wurzel{n*p*(1-p)}
[/mm]
Ich denke mit den Angaben lässt sich die Aufgabe lösen.
Viele Grüße,
Patrick
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Hallo Patrick,
du hast mir sehr weitergeholfen, tausend Dank! Die Formeln die ich benutzt habe, waren zwar aus einem Mathe-Abi Trainer, ab doch ziemlich kompliziert. Habe eben auch gemerkt, dass ich schon am Anfang was falsch gemacht habe, also war mein Lösungsvorschlag Quatsch.
Deine Lösung zu b) leuchtet mir ein.
zu c) habe mit deinem Ansatz ich folgendes rausbekommen:
[mm] \mu [/mm] = 27
sigma = [mm] \wurzel[2]{22,14} \approx [/mm] 4,7053.
damit liegt ist für 2 die rel. Häufigkeit verträglich mit der Wahrscheinlichkeit, für 3 nicht.
Teilaufgabe d) hatte ich unterschlagen, weil ich dachte die bekomme ich so hin, war aber nix. Die poste ich gleich nochmal neu.
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| Aufgabe | | d) Wie oft muss man den Würfel werfen, bis man mit 75%iger Wahrscheinlichkeit mindestens 10mal Augenzahl 3 geworfen hat? |
mein Ansatz ist [mm] \summe_{i=1}^{n-9} B_{n;0,18}(k) [/mm] >= 0,75.
Leider hab ich keine Ahnung, wie man jetzt n ausrechnet... wahrscheinlich gibts wieder eine einfachere Methode
LG Julia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Sa 24.02.2007 | | Autor: | barb |
Hallo,
Ich glaube, der Ansatz stimmt nicht. Meiner Meinung nach ist es so:
[mm] \summe_{k=10}^{n} [/mm] B(k) >= 0,75
[mm] 1-\summe_{k=1}^{9} [/mm] B(k)>= 0,75
[mm] \summe_{k=1}^{n}B(k)<= [/mm] 0,25
und jetzt das passende n in der kumulativen Tabelle suchen (ein Tafelwerk hat die Schülerin wohl)
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