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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:28 Di 19.06.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | | Es sei [mm] B\in\IR^{3x3} [/mm] eine symmetrische Matrix mit det(B)=9. Weiter sei zur Matrix B der Eigenvektor [mm] v=[1,1,0]^T [/mm] zum Eigenwert 2 und der Eigenvektor [mm] w=[2,-2,3]^T [/mm] zum Eigenwert 3 gegeben. Bestimmen Sie den dritten Eigenwert und einen zugehörigen Eigenvektor. |
Hallo! Komme auf keinen Ansatz bei der Aufgabe.. hat jemand sowas schonmal gemacht?
Habe versucht mit [mm] B*v=\lambda_1*v [/mm] und [mm] B*w=\lambda_2*w [/mm] ein Gleichungssystem zu basteln [mm] (\lambda_i [/mm] Eigenwerte) und am Ende det(B)=9 einfließen zu lassen, um die Matrix B zu rekonstruieren.. hat mich aber bereits ins Leere geführt.
Auch mit [mm] B=SDS^T, [/mm] wobei S von dein Eigenvektoren aufgespannt wird und D eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen ist, brachte mich zu nichts, da zu viele Variablen unbekannt sind.
Wie kann ich da Ansetzen? Denke mal B zu rekonstruieren ist nicht verlangt (wüsste jetzt auch nicht mehr wie).
Jemand eine Idee? Wäre sehr dankbar!
Lieben Gruß,
chesn
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> Es sei [mm]B\in\IR^{3x3}[/mm] eine symmetrische Matrix mit det(B)=9.
> Weiter sei zur Matrix B der Eigenvektor [mm]v=[1,1,0]^T[/mm] zum
> Eigenwert 2 und der Eigenvektor [mm]w=[2,-2,3]^T[/mm] zum Eigenwert
> 3 gegeben. Bestimmen Sie den dritten Eigenwert und einen
> zugehörigen Eigenvektor.
> Auch mit [mm]B=SDS^T,[/mm] wobei S von dein Eigenvektoren
> aufgespannt wird und D eine Diagonalmatrix mit den
> Eigenwerten auf der Hauptdiagonalen ist, brachte mich zu
> nichts, da zu viele Variablen unbekannt sind.
Hallo,
mit [mm] $B=SDS^T$ [/mm] zu arbeiten, ist aber nicht so dumm.
Du kennst detB. Was ist dann detD?
Wie lautet also der dritte Eigenwert?
Was weißt Du über die Eigenvektoren symmetrischer Matrizen?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Di 19.06.2012 | | Autor: | chesn |
Tausend Dank Angela! :)
Die Diagonalmatrix D hat die gleiche Determinante wie B, also:
[mm] det(D)=\vmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{3}{2} }=9 \Rightarrow \lambda_3=\bruch{3}{2}
[/mm]
Die Eigenvektoren sind orthogonal.. sei also der dritte Eigenvektor x, dann:
[mm] =x_1+x_2=0
[/mm]
[mm] =2*x_1-2*x_2+3*x_3=0
[/mm]
damit ergibt sich [mm] x=\pmat{ -3 \\ 3 \\ 4 }
[/mm]
Passt das alles so?? Vielen Dank nochmal!!
Lieben Gruß,
chesn
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Hallo chesn,
> Tausend Dank Angela! :)
>
> Die Diagonalmatrix D hat die gleiche Determinante wie B,
> also:
>
> [mm]det(D)=\vmat{ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & \bruch{3}{2} }=9 \Rightarrow \lambda_3=\bruch{3}{2}[/mm]
>
> Die Eigenvektoren sind orthogonal.. sei also der dritte
> Eigenvektor x, dann:
>
> [mm]=x_1+x_2=0[/mm]
> [mm]=2*x_1-2*x_2+3*x_3=0[/mm]
>
> damit ergibt sich [mm]x=\pmat{ -3 \\ 3 \\ 4 }[/mm]
>
> Passt das alles so?? Vielen Dank nochmal!!
>
Ja, das passt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Lieben Gruß,
> chesn
Gruss
MathePower
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