Duale Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 So 07.06.2009 | | Autor: | Petsi |
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich drei auf dem
Intervall [0, 1]. Dann ist {1, x, [mm] x^2, x^3} [/mm] eine Basis von V .
(a) Was ist dim(V *)? Finden Sie eine Basis des Dualraums
(b) Bestimmen Sie damit die duale Basis {1*, x*, [mm] (x^2)*, (x^3)*} [/mm] |
Könntet ihr mir vllt einen Tipp geben wie genau ich die Basis des Dualraumes aufstellen kann?
Ich weiß, dass man diese mit der Inverse der Matrix der Basisvektoren von V bestimmt, aber wie genau geht das mit den Polynomen?
Vielen Dank schonmal
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Petsi |
Hat niemand eine Idee?
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei V der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad kleiner
> gleich drei auf dem
> Intervall [0, 1]. Dann ist {1, x, [mm]x^2, x^3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine Basis von
> V .
> (a) Was ist dim(V *)? Finden Sie eine Basis des Dualraums
> (b) Bestimmen Sie damit die duale Basis {1*, x*, [mm](x^2)*, (x^3)*}[/mm]
>
> Könntet ihr mir vllt einen Tipp geben wie genau ich die
> Basis des Dualraumes aufstellen kann?
> Ich weiß, dass man diese mit der Inverse der Matrix der
> Basisvektoren von V bestimmt, aber wie genau geht das mit
> den Polynomen?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Vielleicht erzählst Du erstmal, was Du über den Dualraum weißt.
Was für Elemente sind da drin? Woraus besteht folglich jede Basis dieses Raumes? Dimension?
Was ist die duale Basis? Definition?
Zu Vorgehensweise: ich würde bei a) einfach gleich die duale Basis hinschreiben - dann hast Du b) gleich miterledigt.
> Könntet ihr mir vllt einen Tipp geben wie genau ich die
> Basis des Dualraumes aufstellen kann?
> Ich weiß, dass man diese mit der Inverse der Matrix der
> Basisvektoren von V bestimmt, aber wie genau geht das mit
> den Polynomen?
Das würde über die Koordinatenvektoren laufen können, aber ich würde erstmal gar nicht diesen Weg weg wählen, denn ich fürchte, daß Du am Ende nicht schlauer bist als zuvor.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Petsi |
Also der Dualraum besteht aus der Menge der Linearformen, also linearen Abbildungen f: W->K von einem Vektorraum W in ihren Körper K.
Die Dimension von V* ist gleich der Dimension von V. Die duale Basis besteht aus den dualisierten Vektoren der Basis von V, oder?
Generell weiß ich mittlerweile so einigermaßen, wie ich die Basis aufstelle,
Ich kann ja die Matrix der Basisvektoren von V invertieren und die Zeilen der Inverse sind dann die Basisvektoren von V*.(Weil ja v*(v) = 1 ergeben muss)
Ich weiß nur nicht, wie ich die Basis hier mit dem Vektorraum der Polynomen aufstelle?
Vielen Dank schonmal
Gruß
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> Also der Dualraum besteht aus der Menge der Linearformen,
> also linearen Abbildungen f: W->K von einem Vektorraum W
> in ihren Körper K.
Hallo,
ja, genau.
Wir halten fest: die Elemente des Dualraumes sind Abbildungen.
> Die Dimension von V* ist gleich der Dimension von V.
Ja.
> Die
> duale Basis besteht aus den dualisierten Vektoren der Basis
> von V, oder?
Hm. Was Du wohl mit "dualisierten Vektoren" meinen magst...
Ich will auf etwas anderes hinaus: die Elemente des Dualraumes sind Abbildungen. Also besteht auch die (bzw. jede) Basis des Dualraumes aus Abbildungen.
In der zu bearbeitenden Aufgabe sind dies lineare Abbildungen vom Raum der Polynome vom Höchstgrad 3 in die reellen Zahlen.
Es hat der Dualraum nach dem vorher Gesagten die Dimension 4.
Wenn ich jetzt in Sachen "Basis des Dualraumes" mal einen Versuchsballon starten wollte, könnte ich mir einfach 4 lineare Abbildungen aus dem Raum der Polynome in die reellen zahlen nehmen, gucken, ob sie ein Erzeugendensystem sind und ob sie linear unabhängig sind. (Kannst Du ja mal versuchen. Ich glaube, es ist lehrreich.)
Nun zur dualen Basis. was rudas ist, habt Ihr in der Vorlesung unter Garantie aufgeschreiben. Selbst derjenige, der nichts verstanden hat, merkt sich meist, daß da "was mit [mm] \delta_i_k" [/mm] vorkommt.
Kannst Du diese Def. wiedergeben, und vielleicht einen ersten Versuch unternehmen, dies auf Deine Aufgabe zu übertragen?
> Generell weiß ich mittlerweile so einigermaßen, wie ich
> die Basis aufstelle,
> Ich kann ja die Matrix der Basisvektoren von V invertieren
> und die Zeilen der Inverse sind dann die Basisvektoren von
> V*.(Weil ja v*(v) = 1 ergeben muss)
Ja, das ist die Vorgehensweise, wenn [mm] V=\IR^n [/mm] ist.
Die Linearformen sind dann ja Abbildungen aus dem [mm] \IR^n [/mm] in den [mm] \IR, [/mm] und man kann ihre darstellenden Matrizen als Zeilen schreiben.
Das ginge in Deiner Aufgabe auch, wenn Du mit Koordinatenvektoren bzgl [mm] (1,x,x^2,x^3) [/mm] arbeitest, aber ich würde Dir zunächst davon abraten, weil es (in meinen Augen) den Blick versperrt für die Objekte, die man in der Hand hält. ich denke, Du solltest Dich zunächst an die Definitionen halten.
Gruß v. Angela
P.S.: Stell Rückfragen als Fragen (roter Kasten), dann werden sie von allen gesehen und beachtet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Petsi |
Hallo!
Eine duale Basis haben wir mit [mm] {b_{1}*,..,b_{n}*} [/mm] mit [mm] b_{i}(b_{j})=1 [/mm] für i=j und 0 sonst definiert.
Also ich habe mir jetzt als Funktionen einfach mal die Basiselemente von V genommen. Also [mm] f_{1}(x)=1, f_{2}(x)=x, f_{3}(x)=x^2, f_{4}(x)=x^3
[/mm]
Diese sind ja lin. unabh. und ein Erzeugendensystem.
Wäre dies dann zum Beispiel eine Basis von V*?
Ich habe mir auch mal den anderen Ansatz überlegt und habe da folgendes rausbekommen:
Als Basis von V: [mm] B={(1,0,0,0)^t, (0,x,0,0)^t, (0,0,x^2,0)^t, (0,0,0,x^3)^t}
[/mm]
Habe dann als Basisvektoren der dualen Basis:
{(1,0,0,0), (0,1/x,0,0), [mm] (0,0,1/(x^2),0), (0,0,0,1/(x^3))}
[/mm]
wäre das so richtig?
Vielen Dank schonmal
Gruß
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> Hallo!
> Eine duale Basis haben wir mit [mm]{b_{1}*,..,b_{n}*}[/mm] mit
> [mm]b_{i}^{\red{\*}}(b_{j})=1[/mm] für i=j und 0 sonst definiert.
> Also ich habe mir jetzt als Funktionen einfach mal die
> Basiselemente von V genommen. Also [mm]f_{1}(x)=1, f_{2}(x)=x, f_{3}(x)=x^2, f_{4}(x)=x^3[/mm]
>
> Diese sind ja lin. unabh. und ein Erzeugendensystem.
> Wäre dies dann zum Beispiel eine Basis von V*?
Nein. Das ist eine Basis des Vektorraumes V, des Raumes der Polynome vom Höchstgrad 3.
Die Elemente des Dualraumes sind von völlig anderer Machart: es sind Funktionen, die Polynome auf reelle Zahlen abbilden.
Ein Beispiel wäre etwa
[mm] \Phi:\IR_{\le 3}\to \IR
[/mm]
[mm] \Phi(ax^3+bx^2+cx+d)=5a+7b-12d
[/mm]
Nun zur dualen Basis: der Vektorraume V hat die Basis [mm] (1,x,x^2,x^3).
[/mm]
die Basisvektoren der dualen Basis sind wie bereits erwähnt, lineare Abbildungen, die aus dem Polynomraum in die reellen Zahlen abbilden.
Aufmerke: lineare Abbildungen. Diese sind durch die Angabe der Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt, und wie diese Zuordnung für die duale Basis vorzunehmen ist, hast Du oben bei der Def. der dualen Basis beschreiben.
Ich mache das jetzt mal für den ersten Vektor der dualen Basis vor.
Es ist
[mm] 1^{\*}:\IR_{\le 3}\to \IR
[/mm]
mit
[mm] 1^{\*}(1):=1
[/mm]
[mm] 1^{\*}(x):=0
[/mm]
[mm] 1^{\*}(x^2):=0
[/mm]
[mm] 1^{\*}(x^3):=0,
[/mm]
oder, etwas anders aufgeschrieben: [mm] 1^{\*}(a+bx+cx^2+dx^3x^2):=a.
[/mm]
[mm] \*\*\*
[/mm]
> Ich habe mir auch mal den anderen Ansatz überlegt und habe
> da folgendes rausbekommen:
> Als Basis von V: [mm]B={(1,0,0,0)^t, (0,x,0,0)^t, (0,0,x^2,0)^t, (0,0,0,x^3)^t}[/mm]
Das ist nicht richtig.
Wenn Du die vorgegebene Basis als Koordinatenvektoren bzgl dieser Basis schreibst, bekommst Di gerade die Standard(spalten)vektoren, läßt Du nun Dein procedere anlauffen, erhältst Du als duale Basis die Standardzeilenvektoren.
Diese sind interpretationsbedürftig:
Sie es sind die darstellenden Matrizen der dualen Basisvektoren bzgl der Basen [mm] (1,x,x^2,x^3) [/mm] und (1).
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Petsi |
Würde es denn dann ausreichen, die Basisvektoren einfach so zu definieren?
(also 1*(1)=1, 1*(x)=0,... und analog für x*(1)=0, x*(x)=1,...)? oder muss ich da explizit die funktionsvorschrift angeben?
Da ich im Aufgabenteil a) nur eine Basis finden muss, würden dann die Einheitszeilenvektoren ausreichen?
Danke schonmal
Gruß
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> Würde es denn dann ausreichen, die Basisvektoren einfach so
> zu definieren?
> (also 1*(1)=1, 1*(x)=0,... und analog für x*(1)=0,
> x*(x)=1,...)? oder muss ich da explizit die
> funktionsvorschrift angeben?
Hallo,
die Angabe der Funktionsvorschrift ist ja nicht schwer,aber es reicht, das so aufzuschreiben, wie Du begonnen hast, da wir es mit linearen Abbildungen zu tun haben.
Du kannst Dir ja nun spaßeshalber mal überlegen, wie Du das Element des Dualraumes
$ [mm] \Phi:\IR_{\le 3}\to \IR [/mm] $
$ [mm] \Phi(ax^3+bx^2+c+d)=5a+7b-12d [/mm] $
als Linearkombination Deiner dualen Basisvektoren schreiben kannst.
> Da ich im Aufgabenteil a) nur eine Basis finden muss,
> würden dann die Einheitszeilenvektoren ausreichen?
Ich habe doch (glaube ich) schon gesagt: diese Einheitseilenvektoren sind die darstellenden Matrizen der Vektoren der dualen Basis bzgl der Basis [mm] (1,x,x^2,x^3) [/mm] von V und (1) von [mm] \IR.
[/mm]
Wenn man's gescheit aufschreibt, kann man die schon vewenden, aber Du mußt Dich davon trennen, daß diese Zeilen die Vektoren Deiner dualen Basis sind. Sie sind die darstellenden Matrizen - aber jetzt wiederhole ich mich wirklich.
Du kannst Dir, wenn Du willst, für Aufgabe a) noch irgendwelche anderen 4 Funktionen suchen, die eine Basis des Dualraumes sind.
Da Du ja weißt, daß die Zeilenvektoren deren darstellende Matrizen sind, ist es nicht schwer, solche zu finden.
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ich finde brigens den Aufgabentext seltsam, und zwar die Aufgabe b), wo steht, daß man mit der gefundenen Basis die duale Basis "bestimmen" soll.
Weil: bei der dualen Basis ist ja nichts zu bestimmen. Die ist definiert, und das einzige, was man tun kann, ist, daß man sie aufschreibt.
Vielleicht ist das so gemeint: Du sollst Dir eine beliebige Basis ausdenken (in a. ) , und dann die duale Basis als Linearkombination dieser Basis schreiben. So wird's sein.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:07 Di 09.06.2009 | | Autor: | Petsi |
Danke ich glaube jetzt müsste ich es einigermaßen verstanden haben!
gruß
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