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Mir geht es um keine konkrete Aufgabe, ich verzweifle an manchen Stellen im Skriptum der Linearen Algebra.
Ich habe eine Frage zu Dualräumen. In mehreren Skripten, Büchern etc. hab ich gefunden, dass die zugehörige duale Basis gleich viele Elemente hat wie die Basis des Vektorraums selbst. Beim Beweis steht dann meistens, man soll die Dualbasiselemente so definieren, dass [mm] v_{j}*(v_{k})=\delta_{j,k} [/mm] (für [mm] v_{i}* [/mm] Elemente der dualen Basis, [mm] v_{i} [/mm] Elemente der Basis). Nun komme ich mit dieser Aussage nicht wirklich klar und ich würde euch gerne fragen, ob man das nicht anhand eines konkreten Beispiels angeben könnte, z. B. wenn ich den Vektorraum vom [mm] \mathbb{R}^{3}, [/mm] mit der Standardbasis als Basis nehme.
Und dann würde ich noch gerne den Beweis verstehen, also die weiteren Schritte.
Bin euch schon sehr dankbar für eure Hilfe.
LG Omikron
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Di 15.02.2011 | | Autor: | pelzig |
Also wir haben eine Basis auf [mm]v_1,...,v_n[/mm] auf [mm]V[/mm] und wollen eine Linearform [mm]f\in V^\*[/mm] definieren, also eine lineare Abbildung von [mm]V[/mm] nach [mm]\IR[/mm]. Nun, dazu müssen wir nur angeben, worauf die Basisvektoren [mm]v_1,,...,v_n[/mm] abgebildet werden (das ist das Prinzip der linearen Fortsetzung). Zum Beispiel könnte ich sagen [mm]v_1[/mm] soll bitte auf [mm]1[/mm] abgebildet werden, [mm]v_2[/mm] auf [mm]\pi[/mm], [mm]v_3[/mm] auf [mm]\sqrt{2}[/mm] usw... (hier sieht man schon dass die Dimension von [mm]V^\*[/mm] jedenfalls kleinergleich [mm]n[/mm] sein muss).
Ich kann aber auch für [mm]i=1,...,n[/mm] definieren [mm]f_i(e_j)=\delta_{ij}[/mm], damit habe ich [mm]n[/mm] Linearformen [mm]f_1,...,f_n[/mm] auf [mm]V[/mm] definiert und das ist in sofern nett, weil ich das in allen Körpern erstmal machen kann. Diese sind jedenfalls linear unabhängig, denn ist [mm]\sum_i \alpha_if_i=0[/mm], so wende dies auf [mm]e_j\in V[/mm] an und es folgt [mm]\alpha_j=0[/mm] für alle [mm]j[/mm]. Da die Dimension von [mm]V^\*[/mm] kleinergleich [mm]n[/mm] war, bilden die [mm]f_1,...,f_n[/mm] eine Basis von [mm]V^\*[/mm]. Explizit, ist [mm]f\in V^\*[/mm] beliebig, so gilt
[mm]f(e_j)=\sum_i f(e_i)\delta_{ij}=\left(\sum_i f(e_i)f_i\right)(e_j)[/mm]
D.h. die Elemente [mm]f[/mm] und [mm]\sum_i f(e_i)f_i[/mm] aus [mm]V^\*[/mm] stimmen auf unsere Basis überein, d.h. [mm]f=\sum_i f(e_i)f_i[/mm]. Also eigentlich ist das doch alles ganz einfach, was verstehst du nicht?
Gruß, Robert
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Also ein einfaches Beispiel: Nehmen wir den [mm]\mathbb{R}^3[/mm] mit der kanonischen Basis [mm]e_1,e_2,e_3[/mm].
Jetzt kannst du Linearformen betrachten, also lineare Abbildungen [mm]f[/mm] von [mm]\mathbb{R}^3[/mm] nach [mm]\mathbb{R}[/mm]. Solche Abbildungen kennst du schon aus der Schule, nämlich als die linken Seiten von Ebenengleichungen, z.B.
[mm]f(x_1,x_2,x_3) = 4x_1 - 5x_2 + 2x_3[/mm]
So stellt etwa die Lösungsmenge der Gleichung [mm]f(x_1,x_2,x_3) = 3[/mm] eine Ebene [mm]E[/mm] dar. In der Sprache der Abbildungen ist [mm]E[/mm] nichts anderes als das Urbild von 3, also [mm]E = f^{-1}(3)[/mm]. Aber das tut hier nichts zur Sache. Ich wollte dir nur den Zusammenhang mit der Schulmathematik aufzeigen.
Jetzt kannst du drei spezielle Linearformen betrachten:
[mm]e_1^{\, \*}(x_1,x_2,x_3) = x_1 \, , \ \ e_2^{\, \*}(x_1,x_2,x_3) = x_2 \, , \ \ e_3^{\, \*}(x_1,x_2,x_3) = x_3[/mm]
Wenn du diese Abbildungen auf die Basis [mm]e_1,e_2,e_3[/mm] losläßt, kommt bei gleichen Indizes 1, bei verschiedenen Indizes 0 heraus. Genau dafür steht ja das Kronecker-[mm]\delta[/mm]. Beispielhaft
[mm]e_2^{\, \*}(e_1) = e_2^{\, \*}(1,0,0) = 0 \, , \ \ e_2^{\, \*}(e_2) = e_2^{\, \*}(0,1,0) = 1 \, , \ \ e_2^{\, \*}(e_3) = e_2^{\, \*}(0,0,1) = 0[/mm]
Damit ist [mm]e_1^{\, \*},e_2^{\, \*},e_3^{\, ß*}[/mm] die duale Basis von [mm]e_1,e_2,e_3[/mm]. Zum Beispiel gilt für das [mm]f[/mm] von oben:
[mm]f = 4e_1^{\, \*} - 5 e_2^{\, \*} + 2 e_3^{\, \*}[/mm]
Denn angewandt auf ein Tripel [mm](x_1,x_2,x_3)[/mm] liefern die linke und die rechte Seite der Gleichung dasselbe. Also sind die Funktionen als Ganze gleich.
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Danke euch, mir ist die Sache schon ein bisschen klarer!
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