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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 So 10.02.2008 | | Autor: | MrFair |
| Aufgabe | Gegeben seien die Linearformen
[mm] \varphi_1: \IR^5 \rightarrow \IR
[/mm]
[mm] (x_1, [/mm] ..., [mm] x_5) \rightarrow x_1
[/mm]
und für j = 2, ..., 5
[mm] \varphi_j: \IR^5 \rightarrow \IR
[/mm]
[mm] (x_1, [/mm] ..., [mm] x_5) \rightarrow x_j [/mm] - [mm] x_j-1
[/mm]
Zeigen sie, dass [mm] B^\* [/mm] := [mm] {\varphi_1, ..., \varphi_5} [/mm] eine Basis des Dualraumes des [mm] \IR^5 [/mm] ist, und geben Sie eine Basis B des [mm] \IR^5 [/mm] an, die [mm] B^\* [/mm] als Dualbasis hat. |
Hallo!
Ich sitze hier grade an dieser Aufgabe und habe so gar keine Ahnung, was ich da machen soll.
Das einzige, auf das ich bisher gekommen bin:
Es gilt: dim [mm] \IR^5 [/mm] = 5 und somit auch dim [mm] (\IR^5)^\* [/mm] = 5.
Also müsste ich jetzt "nur" zeigen, dass [mm] \varphi_1 [/mm] bis [mm] \varphi_5 [/mm] linear unabhängig sind. Aber wie zeige ich lineare Unabhängigkeit bei Linearformen? Das ist mir komplett rätselhaft.
Wie ich eine passende Basis B finde, weis ich auch nicht. Im Tutorium und in meinem Skript stehen Beispiele, bei denen irgendwie mit dem Kroneckersymbol gerechnet wird. Aber dort wird nur erklärt, wie man von einer Basis der Vektorraums auf eine Basis des Dualraums kommt und nicht anders rum.
Ich wäre für jede Hilfe dankbar.
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Hallo,
bevor Du irgendetwas zu zeigen versuchst, solltest Du Dir erstmal klarmachen, wie diese Abbildungen [mm] \varphi_i [/mm] gemacht sind.
Was machen die jeweils mit der Standardbasis?
Die lineare Unabhängigkeit dieser Linearformen zeigt man wie die von anderen Funktionen auch.
Es ist herauszufinden, ob aus
[mm] \summe_{i=1}^{5}a_i\varphi_1= \varphi_{null} [/mm]
[mm] (\varphi_{null}(x):=0 [/mm] für alle [mm] x\in \IR^5)
[/mm]
folgt, daß [mm] a_i=0 [/mm] für alle i=1,2,...,5.
Aus
[mm] \summe_{i=1}^{5}a_i\varphi_1= \varphi_{null} [/mm]
folgt ja
[mm] \summe_{i=1}^{5}a_i\varphi_1(e_k)= \varphi_{null}(e_k), [/mm]
dabei sei [mm] e_k [/mm] der k-te Standardbasisvektor, k=1,2,3,4,5.
Du hast also ein homogenes LGS mit 5 Variablen und 5 Gleichungen zu lösen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 So 10.02.2008 | | Autor: | MrFair |
Wenn ich dich richtig verstanden habe, stelle ich also das LGS durch einsetzen aller Standardbasisvektoren her. Also quasi:
[mm] a_1 [/mm] * [mm] \varphi(e_1) [/mm] + [mm] a_2 [/mm] * [mm] \varphi(e_1) [/mm] + [mm] a_3 [/mm] * [mm] \varphi(e_1) [/mm] + [mm] a_4 [/mm] * [mm] \varphi(e_1) [/mm] + [mm] a_5 [/mm] * [mm] \varphi(e_1) [/mm] = 0
[mm] a_1 [/mm] * [mm] \varphi(e_2) [/mm] + [mm] a_2 [/mm] * [mm] \varphi(e_2) [/mm] + [mm] a_3 [/mm] * [mm] \varphi(e_2) [/mm] + [mm] a_4 [/mm] * [mm] \varphi(e_2) [/mm] + [mm] a_5 [/mm] * [mm] \varphi(e_2) [/mm] = 0
etc.
Was mich dann auf folgendes LGS führt:
[mm] \begin{pmatrix}
1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} [/mm] * x = 0 (x [mm] \in \IR^5)
[/mm]
Das ist dann ja sehr einfach auszurechnen.
Aber wie kommt man denn dadrauf? Bzw. weshalb darf ich einfach die Standardbasisvektoren einsetzen? Weil jede Abbildung durch die Abbildung von Basisvektoren eindeutig bestimmt ist, oder was ist der Grund?
Das mit [mm] \varphi_(null) [/mm] ist ja noch einleuchtend.
Also schonmal erneut vielen Dank an dich, Angela! Wäre nett, wenn du mir noch sagen könntest, wie ich die dazu passende Basis ermitteln kann.
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> Aber wie kommt man denn dadrauf? Bzw. weshalb darf ich
> einfach die Standardbasisvektoren einsetzen?
Hallo,
um über lineare Unabhängigkeit etwas herauszubekommen, hatten wir uns ja mit
[mm] \summe_{i=1}^{5}a_i\varphi_i=\varphi_{null} [/mm] zu befassen.
Hierbei ist es wichtig, daß man sich klarmacht, daß es sich hierbei um die Gleichheit von Funktionen handelt. Rechts und links des Gleichheitszeichens steht jeweils eine Funktion.
Wann sind Funktionen gleich? Wenn ihre Werte auf dem ganzen Definitionsbereich gleich sind.
Es ist also [mm] \summe_{i=1}^{5}a_i\varphi_i=\varphi_{null} [/mm] äquivalent zu
[mm] (\summe_{i=1}^{5}a_i\varphi_i)(v)=\varphi_{null}(v) [/mm] für alle [mm] v\in \IR^5.
[/mm]
Wenn das nun für alle [mm] v\in \IR^5 [/mm] gilt, gilt es natürlich insbesondere für [mm] e_1,..., e_5. [/mm] Das ist der Gedanke.
Wenn ich irgendwelche 5 Vektoren [mm] v_1, ...v_5 [/mm] finde, die [mm] a_i=0 [/mm] erzwingen, habe ich die lineare Unabhängigkeit gezeit.
> Wäre
> nett, wenn du mir noch sagen könntest, wie ich die dazu
> passende Basis ermitteln kann.
Hierzu ist es erstmal wichtig zu wissen, wie die Basis und die duale Basis zusammenhängen.
Dann kann man weitersehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 10.02.2008 | | Autor: | MrFair |
Erstmal danke für deine Erklärung. Dadurch ist mir einiges klar geworden.
Bezüglich der Basis und Dualbasis:
Eben das ist mein Problem: Den Zusammenhang dazwischen zu erkennen. In meinem Skript wird die Dualbasis innerhalb weniger Sätze durchgenommen und auch die Bücher die ich grade hier habe, sagen nicht viel mehr dazu.
In meinem Skript steht folgendes: Ist B = { [mm] v_1, [/mm] ..., [mm] v_n [/mm] } eine Basis von V, so wird, indem man in [mm] \IK [/mm] als Basis {1} wählt, durch [mm] v^\*_j(v_k) [/mm] = [mm] \delta_{jk}, [/mm] j, k = 1, ..., n eine Basis [mm] B^\* [/mm] = { [mm] v_1^\*, [/mm] ... [mm] v_n^\* [/mm] } von [mm] V^\* [/mm] festgelegt. [mm] (\delta [/mm] ist das Kroneckersymbol)
Das ist alles. Außer einer Rechenregel zur Berechnung einer dualen Basis für eine bekannte Basis von V kann ich hier nichts herauslesen.
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>
> Bezüglich der Basis und Dualbasis: [...]
> In meinem Skript steht folgendes: Ist B = [mm] \{v_1, ..., v_n \} [/mm] eine Basis von V, so wird, indem man in [mm] \IK [/mm] als Basis
> {1} wählt, durch [mm] v^\*_j(v_k) [/mm] = [mm] \delta_{jk}, [/mm] j, k = 1, ...,
> n eine Basis [mm] B^\* [/mm] = [mm] {v_1^\*, ... v_n^\* } [/mm] von [mm] V^\*
[/mm]
> festgelegt. [mm] (\delta [/mm] ist das Kroneckersymbol)
Hallo,
na also, dort wird uns doch immerhin deutlich gesagt, wonach wir zu suchen haben.
Wir haben eine Basis [mm] (\varphi_1,...,\varphi_5) [/mm] des Dualraumes von [mm] \IR^5 [/mm] vorliegen, und wir suchen nun eine Basis [mm] (b_1,...,b_5) [/mm] des [mm] \IR^5 [/mm] mit folgenden Eigenschaften:
[mm] \varphi_1(b_1)=1 \varphi_1(b_2)=0 \varphi_1(b_3)=0 \varphi_1(b_4)=0 \varphi_1(b_5)=0
[/mm]
[mm] \varphi_2(b_1)=0 \varphi_2(b_2)=1 \varphi_2(b_3)=0 \varphi_2(b_4)=0 \varphi_2(b_5)=0
[/mm]
[mm] \varphi_3(b_1)=0 \varphi_3(b_2)=0 \varphi_3(b_3)=1 \varphi_3(b_4)=0 \varphi_3(b_5)=0
[/mm]
[mm] \varphi_4(b_1)=0 \varphi_4(b_2)=0 \varphi_4(b_3)=0 \varphi_4(b_4)=1 \varphi_4(b_5)=0
[/mm]
[mm] \varphi_5(b_1)=0 \varphi_5(b_2)=0 \varphi_5(b_3)=0 \varphi_5(b_4)=0 \varphi_5(b_5)=1
[/mm]
Die sollte doch zu finden sein.
Da [mm] \varphi_1(b_1)=1, [/mm] muß [mm] b_1 [/mm] die Gestalt [mm] \vektor{1 \\ ...\\...\\...\\...\\...} [/mm] haben.
Da [mm] \varphi_2(b_1)=0, [/mm] muß [mm] b_1 [/mm] die Gestalt [mm] \vektor{1 \\ 1\\...\\...\\...\\...} [/mm] haben.
Auf diesem Wege solltest Du Dich einer Basis [mm] (b_1,...,b_5), [/mm] die's tut, nähern können.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:03 So 10.02.2008 | | Autor: | MrFair |
Ah, so ist das also mit dem Kroneckersymbol gemeint! Ich habe mich die ganze Zeit gefragt, was das denn soll. Schliesslich hab ich hier ja mehrere Abbildungen, die nicht nur auf 0 oder 1 abbilden. Dass das so gemeint ist... da wäre ich nie drauf gekommen.
Ich bin dir also mal wieder zu Dank verpflichtet :)
Also: Vielen lieben Dank! Hast mal wieder dazu beigetragen, dass ich die lineare Algebra etwas besser verstehe.
Ich bin jetzt übrigens zu folgendem Ergebnis gekommen:
Basis B = [mm] \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
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