Dualraum/Dualbasis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | a)
Es sei V der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] 1 (über [mm] \IR) [/mm] und sei [mm] v_i \in [/mm] V* definiert durch
[mm] v_i [/mm] (f) = [mm] \integral_{0}^{i}{f(t) dt} [/mm] , i = 1,2
Bestimmen sie eine Basis von B, sodass B* = [mm] (v_1, v_2) [/mm] die zu B duale Basis ist.
b)
Sei V ein Vektorraum über einem Körper K mit der basis B = [mm] (b_1,.....,b_n). [/mm] Ferner sei B * = [mm] (v_1,......v_n) [/mm] die zu B duale Basis. Zeigen sie , dass für alle x [mm] \in [/mm] V und alle v aus V* gilt:
x= [mm] v_1(x)b_1 [/mm] +....+ [mm] v_n(x)b_n [/mm] und
v [mm] =v(b_1)v_1 [/mm] + .... + [mm] v(b_n)v_n [/mm] |
huhu zusammen,
zur a) habe ich folgenden Ansatz:
Vektorraum reeller Polynomfkt mit Grad [mm] \le [/mm] 1
also von der Form f(t) = at + b
dann ist [mm] v_1 [/mm] (f) = [mm] \integral_{0}^{1}{at + b dt} [/mm] =1/2 * a + b
und [mm] v_2 [/mm] (f) [mm] =\integral_{0}^{2}{at + b dt} [/mm] = 2a + 2b
ich dachte ich komme an die Lösung , wenn ich die lin. Gls.
1 =0.5 * ax + by
0 = 2* ax + 2* by
und
0 =0.5 * ax + by
1 = 2* ax + 2* by
löse, als Ergebnis erhalte ich
fürs erste Gls.: x= [mm] \bruch{2}{a} [/mm] , y = [mm] \bruch{-2}{b}
[/mm]
fürs zweite : x= [mm] \bruch{1}{a} [/mm] , y = [mm] \bruch{-1}{2b}
[/mm]
allerdings sehe ich hier das Problem, dass die Koeffizienten a,b, ja durchaus auch Null sein können.
b) Fehlt mir noch ein Anatz. Ich weiß nicht ob ichs vertauschen kann, also z.b.
[mm] v_1(x)b_1 [/mm] = [mm] v_1b_1(x) [/mm] = 1* x = x
Liebe Grüße ;)
Eve
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Sa 07.07.2012 | | Autor: | SEcki |
> ich dachte ich komme an die Lösung , wenn ich die lin.
> Gls.
>
> 1 =0.5 * ax + by
> 0 = 2* ax + 2* by
>
> und
>
> 0 =0.5 * ax + by
> 1 = 2* ax + 2* by
Wie kommst du daruf? Ich käme eher auf ein lineares GLS mit 4 Unbekannten ... klamüser mal auf, was du wafrum aufgestellt hast!
> b) Fehlt mir noch ein Anatz. Ich weiß nicht ob ichs
> vertauschen kann, also z.b.
> [mm]v_1(x)b_1[/mm] = [mm]v_1b_1(x)[/mm] = 1* x = x
Sicher nicht - aber x hat ja eine bestimmte Darstellung in der gegebenen Basis.
SEcki
|
|
|
| |
|
> > ich dachte ich komme an die Lösung , wenn ich die lin.
> > Gls.
> >
> > 1 =0.5 * ax + by
> > 0 = 2* ax + 2* by
> >
> > und
> >
> > 0 =0.5 * ax + by
> > 1 = 2* ax + 2* by
>
> Wie kommst du daruf? Ich käme eher auf ein lineares GLS
> mit 4 Unbekannten ... klamüser mal auf, was du wafrum
> aufgestellt hast!
Die gleichungen an sich sind aber klar, oder? also ohne x und y.
mithilfe von kronecker delta ist auch klar, warum ich links jeweils einmal 0 und einma 1 setze. jetzt muss ich ja Varablen bzw mein Basiselemente finden, sodass die Gleichungen erfüllt sind. Hab ich die Variablen falsch eingefügt? man beachte a und b sind ja irgendwelche bel. aber festen Koeffizienten.
>
> > b) Fehlt mir noch ein Anatz. Ich weiß nicht ob ichs
> > vertauschen kann, also z.b.
> > [mm]v_1(x)b_1[/mm] = [mm]v_1b_1(x)[/mm] = 1* x = x
>
> Sicher nicht - aber x hat ja eine bestimmte Darstellung in
> der gegebenen Basis.
wie sieht diese Darstellung aus?^^
> SEcki
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:24 So 08.07.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > ich dachte ich komme an die Lösung , wenn ich die lin.
> > > Gls.
> > >
> > > 1 =0.5 * ax + by
> > > 0 = 2* ax + 2* by
> > >
> > > und
> > >
> > > 0 =0.5 * ax + by
> > > 1 = 2* ax + 2* by
> >
> > Wie kommst du daruf? Ich käme eher auf ein lineares GLS
> > mit 4 Unbekannten ... klamüser mal auf, was du wafrum
> > aufgestellt hast!
>
> Die gleichungen an sich sind aber klar, oder?
Nein.
gesucht sind [mm] b_1,b_2 \in [/mm] V mit:
[mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] sind l.u. in V, [mm] v_1(b_1) [/mm] =1, [mm] v_1(b_2) [/mm] =0, [mm] v_2(b_1) [/mm] =0 und [mm] v_2(b_2) [/mm] =1.
Für [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] mache den Ansatz
[mm] b_1(x)=\alpha [/mm] x+ [mm] \beta, b_2(x)= \gamma [/mm] x+ [mm] \delta.
[/mm]
> also ohne x
> und y.
> mithilfe von kronecker delta ist auch klar, warum ich links
> jeweils einmal 0 und einma 1 setze. jetzt muss ich ja
> Varablen bzw mein Basiselemente finden, sodass die
> Gleichungen erfüllt sind. Hab ich die Variablen falsch
> eingefügt? man beachte a und b sind ja irgendwelche bel.
> aber festen Koeffizienten.
> >
> > > b) Fehlt mir noch ein Anatz. Ich weiß nicht ob ichs
> > > vertauschen kann, also z.b.
> > > [mm]v_1(x)b_1[/mm] = [mm]v_1b_1(x)[/mm] = 1* x = x
Ist x [mm] \in [/mm] V, so hat x die Darstellung
x= [mm] \alpha_1b_1+...+\alpha_nb_n
[/mm]
Berechne mal [mm] v_j(x)
[/mm]
Ist $ v [mm] \in [/mm] $ V*, so hat v die Darsstellung
v= [mm] \beta_1v_1+...+\beta_nv_n.
[/mm]
Berechne mal [mm] v(b_j).
[/mm]
FRED
> >
> > Sicher nicht - aber x hat ja eine bestimmte Darstellung in
> > der gegebenen Basis.
>
> wie sieht diese Darstellung aus?^^
> > SEcki
> >
>
|
|
|
| |
|
danke ;)
habs hingekriegt^^
|
|
|
|
