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| Aufgabe | | Die Duration einer 4-jährigen Anleihe mit Kuponzahlungen C=6%, Kurs 107,26, Rendite y=4% beträgt 3,685 Jahre. |
Hallo zusammen!
Ich habe mir schon einiges im Internet durchgelesen, begreife aber einfach nicht, was mir die Duration eigentlich sagt. Die Duration soll ein Maß für das Zinsänderungsrisiko sein-denn je größer D, umso negativer ist der PVBP. Aber daraus werde ich mit den 3,685n Jahren eben auch nicht schlau. Kann mir das jemand mal erklären?
Vielen Dank schon im Voraus!
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t ### Ct ########### (1+i)^-t ### Ct(1+i)^-t ######## tCt(1+i)^-t
1 ### 6 ### 0,96153846153846 ### 5,7692307692308 ### 5,7692307692308
2 ### 6 ### 0,92455621301775 ### 5,5473372781065 ### 11,094674556213
3 ### 6 ### 0,88899635867091 ### 5,3339781520255 ### 16,001934456076
4 ### 106 ### 0,85480419102973 ### 90,609244249151 ### 362,4369769966
### 107,25979044851 ### 395,30281677812
### D=Σ(t)Ct(1+i)^-t/P ### 3,685
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Sa 19.11.2011 | | Autor: | Staffan |
Hallo,
die Duration allein ist ein Zeitmaß zur Bestimmung der durchschnittlichen Kapitalbindungsdauer einer Festzinsanleihe; sie bezeichnet die Zeit, in der die Hälfte des zeitlich gewichteten Barwerts der Anleihe an den Investor geflossen ist (vgl. etwa Thomas Heidorn Finanzmathematik in der Bankpraxis Kap. 2.5.3 und Caprano/Wimmer Finanzmathematik Kap. 3.1.1) Da die Duration abhängt von der Höhe des Koupons, des Marktzinses und etwaigen vorzeitigen Tilgungen, berücksichtigt sie letztlich, wie schnell der Barwert (Kurs der Anleihe) an den Investor zurückfließt. Es wird auch gesagt, daß nach Ablauf dieser Zeit eine Zinsimmunisierung für die Restlaufzeit der Anleihe eintritt (a.a.O.). Sie ist damit eine Vergleichszahl für Investitionsentscheidungen.
Zur Ermittlung von Kursänderungen aus Änderungen des Zinsniveaus benötigt man als eine Größe die modified Duration, das ist die mit (1+i) abgezinste Duration, wobei i der Marktzins ist. Das Ergebnis ist eine Zahl ohne Maßeinheit.
Der Zusammenhang des Present Value of a Basispoint (PVBP) mit der Duration läßt sich wie folgt zeigen:
Der Kurs eines Wertpapiers wird nachstehend als Barwert (BW) bezeichnet. Der PVBP drückt die Preis- oder Kursänderung des Wertpapiers in Geldeinheiten bei einer Renditeänderung von 0,01% aus. Die Abhängigkeit von Rendite- und Kursänderung zueinander ist zwar nicht linear, wegen der geringen Größe von 0,01% wird eine solche aber angenommen. Die Kursänderung $ [mm] \Delta [/mm] BW $ wird so als 1. Ableitung nach q=1+i der Barwertfunktion dargestellt. Dabei werden nachfolgend zur Vereinfachung die einzelnen Zahlungen als CF (Cashflow) zusammengefaßt.
$ BW = [mm] \summe_{t=1}^{t=n} \left( CF \times q^{-t} \right) [/mm] $
$ [mm] \bruch {\Delta BW}{\Delta q}= [/mm] - [mm] \bruch [/mm] {1}{q} [mm] \times \summe_{t=1}^{t=n} \left( t \times CF \times q^{-t} \right) [/mm] $
Das in einen PVBP überführt
$ PVBP = [mm] -\bruch [/mm] {1}{q} [mm] \times \summe_{t=1}^{t=n} \left( t \times CF \times q^{-t} \right) \times \bruch{1}{10000} [/mm] $
die rechte Seite mit BW/BW erweitert und etwas umgestellt
$ PVBP = - [mm] \bruch [/mm] {1}{q} [mm] \times \summe_{t=1}^{t=n} \left( \bruch{t \times CF}{BW \times q^{t}} \right) \times [/mm] BW [mm] \times \bruch{1}{10000}$
[/mm]
darin enthalten ist die Duration mit
$ D = [mm] \summe_{t=1}^{t=n} \left( \bruch{t \times CF}{BW \times q^{t}} \right) [/mm] $
und die modified Duration mit
$ H = [mm] \bruch [/mm] {1}{q} [mm] \times [/mm] D $,
so daß gilt
$ PVBP = - H [mm] \times [/mm] BW [mm] \times \bruch{1}{10000} [/mm] $.
Gruß
Staffan
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