Durch Treppenfkt. def. Limes < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
ich beschäftige mich momentan mit Treppenfunktionen, über die wir Lebesgue-Integrale hergeleitet haben. Zu meiner Frage:
Sei [mm] \mathcal{A} [/mm] eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra in [mm] \Omega. [/mm] Wenn ich nun eine isotone Folge von [mm] \mathcal{A}- [/mm] Treppenfunktionen [mm] f_n:\Omega\to\IR_{\ge0} [/mm] habe (d.h. [mm] f_1\le f_2\le f_3\le... [/mm] auf [mm] \Omega), [/mm] kann ich dann davon ausgehen, dass der Limes dieser Folge eine nichtnegative [mm] \mathcal{A}- [/mm] messbare Funktion [mm] f:\Omega\to\IR_{\ge0}\cup\{\infty\} [/mm] definiert oder dass der Limes überhaupt existiert? Und wenn ja, warum?
MfG Ladon
|
|
| |
|
Hiho,
ihr habt sicherlich bereits bewiesen, dass der Limes von [mm] $\mathcal{A}$-meßbaren [/mm] Funktionen wieder [mm] $\mathcal{A}$-meßbar [/mm] ist, bleibt nur die Existenz und die wird einfach Punktweise definiert in der Form:
[mm] $f(\omega) [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty}f_n(\omega)$
[/mm]
Da die [mm] f_n [/mm] wachsend sind, existiert dieser Grenzwert auf [mm] $[0,\infty]$ [/mm] immer.
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Ladon |
Vielen Dank für die rasche Antwort!
MfG Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:58 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo Gonozal_IX,
ich habe mir noch mal ein paar Beispiele überlegt. Würde das ganze noch immer gelten, wenn ich z.B. eine Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] habe, deren Definitionsbereich (vorstellbar in [mm] \IR) [/mm] immer größer wird für wachsendes n?
Ich denke, dass es höchstens bei der Isotonie scheitern könnte.
Ich könnte mir im Extremfall eine Funktionenfolge vorstellen, für die [mm] f_n=f_{n+1} [/mm] auf [mm] D_n \forall n\in\IN [/mm] gilt (mit [mm] D_n\subseteq\IR [/mm] meine ich den von n abhängigen Definitionsbereich, der für wachsendes n größer wird). Für diese Funktionenfolge wäre Isotonie erfüllt, wie man leicht sieht, aber doch nur, weil die [mm] f_n [/mm] nicht für alle [mm] x\in D_{n+1} [/mm] definiert sind und man auf dem Definitionsbereich [mm] D_{n+1} [/mm] keine Aussage machen kann. Ist sie dann dennoch Isoton bzw. wachsend?
Ich hoffe es ist ersichtlich, was ich meine.
MfG Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Gonozal_IX,
>
> ich habe mir noch mal ein paar Beispiele überlegt. Würde
> das ganze noch immer gelten, wenn ich z.B. eine
> Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] habe, deren Definitionsbereich
> (vorstellbar in [mm]\IR)[/mm] immer größer wird für wachsendes
> n?
was meinst Du damit? In dem Satz sind doch die [mm] $f_n$ [/mm] alle auf [mm] $\Omega$ [/mm] definiert.
Wenn Du nun [mm] $\IR$ [/mm] mit dem Lebesgue(-Borel)-Maß ausstattest, so könnte ich
mir unter dem, was Du da sagst, nur etwa vorstellen, dass Du vielleicht
meinst, dass
[mm] $M_n:=\{x \in \IR:\;\; f_n(x) \not=0\}=\{x \in \IR:\;\;f_n(x) \;>\;0\}$
[/mm]
erfüllen soll
[mm] $M_n \subseteq M_{n+1}$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN.$
[/mm]
Unter den gegebenen Voraussetzungen an die [mm] $f_n$ [/mm] in dem von Dir ursprünglich
formulierten Satz sind aber alle [mm] $M_n$ [/mm] Lebesgue-(Borel-)messbar. Du
kannst den Satz also anwenden. Ich verstehe daher nicht, was Du eigentlich
nun konstruieren willst.
(Übrigens mal ein Merksatz meines damaligen Tutors: "Sobald man die
Messbarkeit von Funktionen nicht mehr fordert, kann man sehr viel Unsinn
betreiben...")
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich könnte mir im Extremfall eine Funktionenfolge
> vorstellen, für die [mm]f_n=f_{n+1}[/mm] auf [mm]D_n \forall n\in\IN[/mm]
> gilt (mit [mm]D_n\subseteq\IR[/mm] meine ich den von n abhängigen
> Definitionsbereich, der für wachsendes n größer wird).
wie gesagt, mir ist Dein Problem nicht ganz klar:
Oben kannst Du einfach anstatt
[mm] $f_n \colon D_n \to [0,\infty]$
[/mm]
dann
[mm] $\widetilde{f_n} \colon \IR \to [0,\infty]$
[/mm]
mit
[mm] $\widetilde{f_n}:=f_n*\mathds{1}_{D_n}$
[/mm]
betrachten. (Die [mm] $D_n$ [/mm] sollten natürlich [jedenfalls alle bis auf endliche
viele] hier auch messbar sein!)
P.S. [mm] $\mathds{1}_X$ [/mm] ist die Indikatorfunktion auf [mm] $X\,,$ [/mm] mit (hier)
[mm] $\mathds{1}_X \colon \IR \to \{0,1\}$
[/mm]
definiert durch
[mm] $\mathds{1}_X(x)=1$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] X$ und [mm] $\mathds{1}_X(x)=0$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR \setminus X\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Mi 20.11.2013 | | Autor: | Ladon |
> Hallo,
>
> > Ich könnte mir im Extremfall eine Funktionenfolge
> > vorstellen, für die [mm]f_n=f_{n+1}[/mm] auf [mm]D_n \forall n\in\IN[/mm]
> > gilt (mit [mm]D_n\subseteq\IR[/mm] meine ich den von n abhängigen
> > Definitionsbereich, der für wachsendes n größer wird).
>
> wie gesagt, mir ist Dein Problem nicht ganz klar:
> Oben kannst Du einfach anstatt
>
> [mm]f_n \colon D_n \to [0,\infty][/mm]
>
> dann
>
> [mm]\widetilde{f_n} \colon \IR \to [0,\infty][/mm]
>
> mit
>
> [mm]\widetilde{f_n}:=f_n*\mathds{1}_{D_n}[/mm]
>
> betrachten. (Die [mm]D_n[/mm] sollten natürlich [jedenfalls alle
> bis auf endliche
> viele] hier auch messbar sein!)
>
> P.S. [mm]\mathds{1}_X[/mm] ist die Indikatorfunktion auf [mm]X\,,[/mm] mit
> (hier)
>
> [mm]\mathds{1}_X \colon \IR \to \{0,1\}[/mm]
>
> definiert durch
>
> [mm]\mathds{1}_X(x)=1[/mm] für alle [mm]x \in X[/mm] und [mm]\mathds{1}_X(x)=0[/mm]
> für alle [mm]x \in \IR \setminus X\,.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Das ist sehr hilfreich, um meinen Konflikt aufzulösen.
MfG Ladon
PS: Der Merkspruch ist gut... 
|
|
|
|
