Durchmesser Jordankurve < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] \gamma [/mm] ein geschl. Jordankurve im [mm] \IR^n. [/mm] Zwei beliebige Punkte [mm] x,y\in\gamma [/mm] teilen [mm] \gamma [/mm] in zwei Teilbögen. Zeige [mm] $\forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \; \exists \delta [/mm] > 0$, sodass für [mm] x,y\in \gamma [/mm] mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] folgt [mm] diam(\gamma_i) <\varepsilon. [/mm] Für i=1 oder i=2, d.h. für einen Teilbogen.
[mm] $diam(\gamma_i):=\sup\{ |x-y|\;\; | x,y\in \gamma_i \}$ [/mm] |
Hallo,
ich weiß hier nicht so richtig wie ich anfangen soll. Das ganze erinnert ja an die Definition der Stetigkeit. Anschaulich gesehen ist das auch klar.
Aber wie kann ich hier einen Beweis führen? Evtl. würde sich ein Widerspruchsbeweis anbieten?
Danke!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Di 23.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
Für einen festen Punkt [mm]x_0 \in \gamma[/mm] kannste ein passendes [mm]\delta_{x_0}[/mm] finden.
Jetzt benutze die Kompaktheit von [mm]\gamma[/mm].
PS: Schöne Aufgabe. ^^
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Hallo Merle,
ähm kannst du mir das vielleicht noch ein bisschen genauer erklären? Wie sieht dieses [mm] \delta_{x_0} [/mm] denn genau aus?
Kompaktheit = beschränkt und abgeschlossen. Was kann ich damit hier anfangen?
Danke,
Lg Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Mi 24.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Hallo Merle,
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> ähm kannst du mir das vielleicht noch ein bisschen genauer
> erklären? Wie sieht dieses [mm]\delta_{x_0}[/mm] denn genau aus?
Ja genauso, dass [mm]diam(\gamma_i) \le \epsilon \ f"ur \ i = 1 \ oder \ 2[/mm]. Das so ein [mm] \delta_{x_0} [/mm] existiert folgt aus der Stetigkeit von der Einbettung, wie du schon richtig am Anfang vermutet hast.
> Kompaktheit = beschränkt und abgeschlossen. Was kann ich
> damit hier anfangen?
>
Ich wollte auf die Überdeckungskompaktheit hinaus.
> Danke,
> Lg Patrick
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Also eine geschlossene Jordankuve ist ja das stetige Bild einer Abbildung von der Kreisscheibe. Bezeichnen wir diese Abbildung mit f, dann gilt ja auf Grund der Stetigkeit, dass [mm] $\forall \varepsilon \exists \delta [/mm] >0,$ sodass [mm] $\forall [/mm] x,y$ mit $|x-y|< [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon$. [/mm]
Aber der Abstand der Funktionswerte ist ja noch nicht der Durchmesser diam...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Do 25.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Also eine geschlossene Jordankuve ist ja das stetige Bild
> einer Abbildung von der Kreisscheibe. Bezeichnen wir diese
> Abbildung mit f, dann gilt ja auf Grund der Stetigkeit,
> dass [mm]\forall \varepsilon \exists \delta >0,[/mm] sodass [mm]\forall x,y[/mm]
> mit [mm]|x-y|< \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \varepsilon[/mm].
> Aber der Abstand der Funktionswerte ist ja noch nicht der
> Durchmesser diam...
>
Das [mm] x_0 [/mm] ist fest (aufpassen, das [mm] x_0 [/mm] bei mir ist das f(x) bei dir in der Stetigkeitsformel - ausserdem hast du die Definition der glm. Stetigkeit hingeschrieben und nicht der Stetigkeit in [mm]f^{-1}(x_0)[/mm]).
Betrachte also nur den Teilbogen, der [mm] x_0 [/mm] enthält. OBdA [mm] x_0 \in \gamma_1.
[/mm]
Dann kannst du [mm] diam(\gamma_1) [/mm] nach oben gegen [mm]2\epsilon[/mm] abschätzen, wobei das [mm] \epsilon [/mm] das ist, welches du aus der Definition der Stetigkeit herkriegst.
Anm.: Vielleicht geht das ganze auch direkt mit der glm. Stetigkeit viel leichter, da hab ich nicht drüber nachgedacht. Aber es wäre ja eigentlich im Grunde fast dasselbe, da wir in beiden Fällen die Kompaktheit benutzen würden.
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> Betrachte also nur den Teilbogen, der [mm]x_0[/mm] enthält. OBdA
> [mm]x_0 \in \gamma_1.[/mm]
> Dann kannst du [mm]diam(\gamma_1)[/mm] nach oben
> gegen [mm]2\epsilon[/mm] abschätzen, wobei das [mm]\epsilon[/mm] das ist,
> welches du aus der Definition der Stetigkeit herkriegst.
>
Also ich versuche es nochmal.
Sei also o.E. [mm] $x_0 \in \gamma_1$ [/mm] dann gilt ja [mm] $|x_0-x|<\varepsilon$ [/mm] wenn nur [mm] $|f^{-1}(x_0)-f^{-1}(x)|<\delta$
[/mm]
Mir ist jetzt nicht ganz klar, wie ich damit [mm] diam(\gamma_1) [/mm] abschätzen kann.
Danke
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Do 25.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> > Betrachte also nur den Teilbogen, der [mm]x_0[/mm] enthält. OBdA
> > [mm]x_0 \in \gamma_1.[/mm]
> > Dann kannst du [mm]diam(\gamma_1)[/mm] nach
> oben
> > gegen [mm]2\epsilon[/mm] abschätzen, wobei das [mm]\epsilon[/mm] das ist,
> > welches du aus der Definition der Stetigkeit herkriegst.
> >
>
> Also ich versuche es nochmal.
>
> Sei also o.E. [mm]x_0 \in \gamma_1[/mm] dann gilt ja
> [mm]|x_0-x|<\varepsilon[/mm] wenn nur
> [mm]|f^{-1}(x_0)-f^{-1}(x)|<\delta[/mm]
>
> Mir ist jetzt nicht ganz klar, wie ich damit [mm]diam(\gamma_1)[/mm]
> abschätzen kann.
>
Bisher haben wir das [mm] \gamma_1 [/mm] ja noch gar nicht definiert!
In der Aufgabenstellung ist übrigens auch nicht angegeben, wie das [mm] \gamma_i [/mm] definiert sein soll. Ich spekuliere einfach mal deswegen weiter unten.
Also, wir haben [mm]|f^{-1}(x_0)-f^{-1}(x)|<\delta \Rightarrow |x_0-x|<\varepsilon[/mm], d.h. das Bild von [mm] B_{\delta}(f^{-1}(x_0)) [/mm] unter f ist ein zusammenhängendes Streckenstück innerhalb [mm] B_{\epsilon}(x_0) [/mm] - dies definieren wir als [mm] \gamma_1. [/mm] Dann haben wir für alle x,y die Abschätzung [mm]|x-y| \le |x-x_0|+|x_0-y| \le 2\epsilon[/mm].
>
> Danke
>
> Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:41 Fr 26.06.2009 | | Autor: | XPatrickX |
Ah, ok danke, jetzt ist mir einiges klarer geworden. Ich versuche das dann mal sauber aufzuschreiben.
Viele Grüße
Patrick
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